Las estructuras algebraicas
no-conmutativas se encuentran en el núcleo mismo de los desarrollos
más recientes de las matemáticas fundamentales, desde los grupos
cuánticos (álgebras de Hopf) hasta la geometría no conmutativa. En
esta escuela CIMPA consideramos aspectos complementarios en esta
dirección: homología y cohomología, álgebras de Frobenius, teoría
de representaciones y álgebras de caminos y de caminos de Leavitt.
Estas materias, así como sus articulaciones, proporcionan una
primera introspección en esta teoría.
La homología y cohomología de
álgebras son herramientas útiles en varios dominios de las
matemáticas; están relacionadas con nociones tales como el centro,
las derivaciones, la rigidez y varias conjeturas fundamentales para entender las
estructuras algebraicas asociativas y de Lie. El curso que se
celebrará en Penonomé permitirá a los investigadores noveles
aprender desde su mismo comienzo, los aspectos fundamentales de estas
áreas de conocimiento.
Las álgebras de Frobenius constituyen una
amplia variedad que contiene, por ejemplo, a la de las
álgebras de Hopf. El curso proporcionará una introducción
elemental a estas estructuras, que se relaciona con la teoría de
representaciones.
Por otra parte, la teoría de
representaciones es una rama de las matemáticas que ejerce una gran
influencia en otras disciplinas (como, por ejemplo, la física de
partículas). Está fuertemente relacionada con las
álgebras y grupos de Lie, donde la teoría de representaciones juega
un papel esencial. Los conceptos de sistema de raíces y de diagramas de
Dynkin son el corazón mismo de la teoría. Precisamente, el curso
sobre raíces y teoría de representaciones introducirá los
conceptos básicos y la clasificación de los diagramas de Dynkin.
Este curso nos mostrará cómo los mencionados diagramas aparecen en
la teoría de representaciones de álgebras asociativas de dimensión
finita y la forma en que se relaciona esto con las condiciones de finitud sobre
el número de módulos indescomponibles.
En esta escuela CIMPA también se impartirá
un curso sobre
álgebras de caminos y álgebras de caminos de Leavitt. Después de
introducir las álgebras de caminos de Leavitt, el tema que se
desarrollará principalmente será el de la estructura Lie de las
álgebras de caminos de Leavitt. El punto de comienzo será el
estudio del centro de un álgebra de caminos y después, el estudio
del álgebra derivada módulo su centro.