6. Strukturgruppen komplexer und reeller Cartan Faktoren

Neben der Automorphismengruppe ist beim Studium von JB^{∗}-Tripeln noch eine weitere Gruppe von Bedeutung, die sogenannte Strukturgruppe. Diese ist eine durch algebraische Bedingungen gegebene Untergruppe der generellen linearen Gruppe des Tripels und enthält ihrerseits die Automorphismengruppe. Faßt man Jordansche Tripelsysteme als Jordanpaare auf [33], so ergibt sich dort in natürlicher Weise die Automorphismengruppe des Paares, die isomorph zur Strukturgruppe des Tripels ist (vgl. Bemerkung 6.2(ii)).

In diesem Kapitel sollen neben der Definition einige Eigenschaften der Strukturgruppe dargestellt werden, die eine konkrete Bestimmung der Strukturgruppen von Cartanfaktoren ermöglicht. Diese Bestimmung wird dann in zwei Schritten durchgeführt: Zunächst geht es um die Zusammenhangskomponente der Eins. Anschließend wird gezeigt, daß diese Komponente in einigen Fällen bereits die ganze Gruppe ist. Wir beginnen mit folgender 6.1 Definition Sei U ein reelles oder komplexes JB^{∗}-Tripel. Dann heiße

Str(U): = {g ∈ GL(U) : ∃g^{#} ∈ GL(U) mit g{xyz} = {(gx) (g^{#}y) (gz)} ∀x, y, z ∈ U}

die Strukturgruppe von U.

6.2 Bemerkung

(i) Aufgrund der Bilinearität in den äußeren Variabeln ist die obige Bedingung äqui-

valent zu

g{xyx} = {(gx) (g^{#}y) (gx)} ∀x, y ∈ U

was sich mit Hilfe von Operatoren auch wie folgt ausdrücken läßt (vgl 2.12):

(6.3)  gQ_{x} = Q_{gx}g^{#}

(ii) Zu jedem g ∈ Str(U) existiert nicht nur ein solches g^{#}, sondern ist sogar eindeutig bestimmt. Denn angenommen h ∈ GL(U) erfüllt dieselbe Bedingung, so gilt aufgrund der Additivität von {…} im mittleren Argument:

{(gx) ((g^{#} − h)y) (gx)} = 0 ∀x, y ∈ U.

Da g bijektiv ist, gibt es zu jedem y ∈ U ein x ∈ U derart, daß gx = (g^{#} − h)y gilt. Dann folgt aber mit der Beobachtung 2.13 sofort, daß notwendig g^{#} = h gilt. Daher läßt sich Str(U) auch in eindeutiger Weise als Menge von Paaren auffassen:

Str(U) ≅ {(g, g^{#}) ∈ GL(U) × GL(U) : gQ_{x} = Q_{gx}g^{#} ∀x ∈ U}

Dies entspricht der Betrachtungsweise im Zusammenhang mit Jordanpaaren [33]. (iii) Ist g ∈ Aut(U), so gilt g = g^{#}, und daher haben wir: Aut(U) ⊂ Str(U) ≠ ∅. 6.4 Beispiel Für U = C und {xyx} = xy^{∗}x ist GL(U) ≅ C^{∗} bekannt. Aufgrund der Kommutativität sieht man sofort, daß in der Tat Str(U) = GL(U) ist, und für g: = g_{a}: = (z ↦ az), a ∈ C^{∗} ist g^{#} gegeben durch g^{#} = (z ↦ \overline{a}^{−1}z) = g\overline{a}^{−1}.

Zunächst soll der Name Strukturgruppe für die Menge Str(U) gerechtfertigt sowie die Verbindung zur Automorphismengruppe hergestellt werden. Dies leistet der erste

6.5 Satz [Prop.5.6 in [27] oder 4 in [12]] Für ein komplexes JB^{∗}-Tripel U ist Str(U) eine komplexe Banach-Liegruppe und zwar als Untergruppe von GL(U) in der Normtopologie. Die Abbildung g ↦ g^{#} ist ein antiholomorpher Gruppenautomorphismus der Periode 2. Daher ist die Abbildung g ↦ g^{∗}: = (g^{#})^{−1} eine Involution auf Str(U) und die Automorphismengruppe

Aut(U) = {g ∈ Str(U) : g = g^{#}} = {g ∈ Str(U) : gg^{∗} = 11}

eine reelle Form von Str(U).

Beweis. Die Gruppeneigenschaften lassen sich am besten mit Hilfe des Q-Operators nachrechnen. Für g, h ∈ Str(U) gilt:

ghQ_{x} = gQ_{hx}h^{#} = Q_{ghx}g^{#}h^{#},

d.h. gh ∈ Str(U) und (gh)^{#} = g^{#}h^{#}. Ebenfalls sofort sieht man: g^{−1} ∈ Str(U) und (g^{−1})^{#} = (g^{#})^{−1}. Str(U) ist also algebraisch gesehen eine Untergruppe von GL(U), die durch eine (überabzählbare) Menge von algebraischen Gleichungen gegeben wird. Damit ist Str(U) eine algebraische Untergruppe von GL(U) (vom Grad ≤2) im Sinne von [17]. Theorem 1 dort liefert nun die Behauptung, daß Str(U) eine Lie-Untergruppe in der Normtopologie ist. Nun betrachten wir für g ∈ Str(U) Ausdrücke der Form {gx{g^{#}y gz g^{#}y}gx} und erinnern uns an die Formel 2.10 zur Verschiebung der inneren Klammern ([36] Prop. 22.2):

{gx{g^{#}y gz g^{#}y}gx} = 2{gx g^{#}y{gx g^{#}y gz}} − {{gx g^{#}y gx}g^{#}y gz}
= 2{gx g^{#}y g{xyz}} − {g{xyx}g^{#}y gz}
= 2g[{xy{xyz}} − {{xyx}yz}]
= g{x{yzy}x} ∀x, y, z ∈ U,

d.h. Q_{gx}Q_{g^{#}y}g = gQ_{x}Q_{y} = Q_{gx}g^{#}Q_{y}. Die letzte Gleichheit folgt mit 6.3. Dann gilt wegen 2.12 sogar schon Q_{g^{#}y}g = g^{#}Q_{y}, was genau die Gleichung 6.3 für g^{#} darstellt. Somit erhalten wir g^{#} ∈ Str(U) und (g^{#})^{#} = g. Da das Tripelprodukt antiholomorph in der mittleren Variablen ist, ist offensichtlich auch g ↦ g^{#} antiholomorph.

6.6 Beispiel Für U = I_{n,m} definiert die Abbildung

GL(m) × GL(n) ⟶ Str(U)
(a, b) ⟼ g_{a,b} := (z ↦ azb^{−1})

einen Homomorphismus von Gruppen, und es gilt:

g_{a,b}^{#} = g_{a^{∗−1},b^{∗−1}}  g_{a,b}^{∗} = g_{a^{∗},b^{∗}}  g_{a,b}^{−1} = g_{a^{−1},b^{−1}}.

Es ist zu beachten, daß der * für g genau der in Satz 6.5 definierte ist, für a, b jedoch die bekannte Adjungierte in L(H) bzw. L(K). Da diese Abbildung stetig ist, stellt ihr Bild eine zusammenhängende Untergruppe der Einskomponente dar.

Wenn wir die Abbildung im obigen Beispiel einschränken, so erhalten wir für n ≠ m eine Surjektion (vgl. Kapitel 3)

U(m) × U(n) ⟶ Aut(U) : (u, v) ↦ g_{u,v} = (z ↦ uzv^{−1}).

Die Kenntnis der Automorphismengruppen der komplexen Cartanfaktoren und der Tatsache, daß diese gerade reelle Formen der Strukturgruppen sind, wollen wir nun ausnutzen, um zunächst die Einskomponente der Strukturgruppen zu bestimmen.

6.7 Satz Sei U ein komplexes JB^{∗}-Tripel. Die Liealgebra der Strukturgruppe von U ist genau die Komplexifizierung der Liealgebra der Automorphismengruppe von U, kurz:

𝔞𝔲𝔱(U)^{C} = 𝔰𝔱𝔯(U).

Beweis. Aut(U) ist eine reelle Form von Str(U), also ist der Tangentialraum zu Aut(U) in 11 ∈ L(U) eine reelle Form des Tangentialraums zu Str(U). Diese Tangentialräume lasse sich mit den jeweiligen Liealgebren identifizieren. Konkret liefert das Differential von g ↦ g^{#} auf Str(U) eine konjugiert-lineare Abbildung der Periode 2 auf 𝔰𝔱𝔯(U), die mit der kanonischen Exponentialabbildung kommutiert.

6.8 Korollar Die Einskomponenten der Strukturgruppen der nicht-exzeptionellen Cartanfaktoren haben folgende Form:

Str^{0}(I_{n,m}) = {z ↦ azb : a ∈ GL(m) b ∈ GL(n)}
Str^{0}(II_{n}) = Str^{0}(III_{n}) = {z ↦ aza′ : a ∈ GL(n)}
Str^{0}(IV_{n}) = {z ↦ tg(z) : t ∈ C^{∗} g ∈ SO(n, C)}.

Beweis. Die Inklusionen ¨ ⊇ërgeben sich durch einfaches Nachrechnen. In den Fällen I, II, und III ist g_{a,b}^{∗} = g_{a^{∗},b^{∗}} bzw. g_{a}^{∗} = g_{a^{∗}}. Im Fall IV fällt der * aus Satz 6.5 mit der bekannten Hilbertraum-Adjungierten zusammen. Es gilt (tg)^{∗} = \overline{t}g^{∗} Für die umgekehrten Inklusionen berechnen wir 𝔞𝔲𝔱(U)^{C} und wenden den Satz an.

Im Fall U = I_{n,m} gilt 𝔞𝔲𝔱(U) ≅ (𝔲(m) × 𝔲(n))/𝔲(1). Schreiben wir a ∈ 𝔤𝔩(n) in der Form \frac{1}{2}(a − a^{∗}) − i(\frac{i}{2}(a + a^{∗})) so sehen wir, daß 𝔤𝔩(n) = 𝔲(n) + i𝔲(n) = 𝔲(n)^{C} gilt, und wir daher 𝔞𝔲𝔱(U)^{C} ≅ (𝔤𝔩(m) × 𝔤𝔩(n))/C^{∗} erhalten. Das bedeutet, daß das Bild der Abbildung GL(m) × GL(n) ⟶ Str(U), (a, b) ↦ g_{a,b} offen ist, also eine volle Umgebung der Eins enthält. Da das Bild auch zusammenhängend ist, muß es gleich der ganzen Einskomponente sein. In den Fällen II und III ist die Argumentation analog. Im Fall des Cartanfaktors U =IV_{n} haben wir 𝔞𝔲𝔱(U) ≅ IR11+𝔰𝔬(n, IR), und daher ergibt sich die Komplexifizierung zu 𝔰𝔱𝔯(U) ≅ C11 + 𝔰𝔬(n, C). Die weitere Argumentation ist wie oben.

6.9 Bemerkung Für den Faktor I_{n,n} ergibt sich im Fall n > 1 aus der Betrachtung der Automorphismengruppe sofort eine weitere Komponente der Strukturgruppe zu {z ↦ az′b : a ∈ GL(m), b ∈ GL(n)}.

Bevor wir versuchen, die restlichen Komponenten der Strukturgruppen zu bestimmen, wollen wir die bisherige Theorie auf reelle JB^{∗}-Tripel übertragen. Dies wird keine größeren Schwierigkeiten bereiten und am Ende sogar eine anschauliche Darstellung des Zusammenhangs zwischen den beteiligten Struktur- und Automorphismengruppen liefern. Außerdem können wir offene Untergruppen der Strukturgruppen für reelle nichtexzeptionelle Cartanfaktoren problemlos angeben.

Nachdem wir die Menge Str(E) für ein reelles JB^{∗}-Tripel E bereits definiert haben, wäre es möglich, die im komplexen Fall gefundenen Ergebnisse zu übertragen und zu beweisen. Die dieser Arbeit zugrundeliegende Einstellung, reelle Strukturen als reelle Formen komplexer Strukturen aufzufassen, wie sie in [22] vertreten wird, legt jedoch eine andere Vorgehensweise nahe. Jedes reelle JB^{∗}-Tripel E ist von der Form E = U^{τ} für ein komplexes JB^{∗}-Tripel U und eine Konjugation τ. Sei nun g ∈ Str(U) gegeben mit der zusätzlichen Eigenschaft gτ = τg, so läßt sich g auf E beschränken und für die eingeschränkte Abbildung g_{|E} =: ĝ rechnet man leicht nach, daß ĝ ∈ Str(E) und (ĝ)^{#} = ˆ(g^{#}) gilt. Umgekehrt sei g ∈ Str(E) gegeben. Zunächst gibt es eine eindeutig bestimmte C-lineare Fortsetzung von g zu einem Operator g̃ ∈ GL(U). Ferner läßt sich jedes x ∈ U = U^{τ} ⊕iU^{τ} schreiben als x = x_{1} + ix_{2} mit x_{i} ∈ E, und wir rechnen nach:

g̃{(x_{1} + ix_{2}) (y_{1} + iy_{2}) (z_{1} + iz_{2})}
= g̃[{x_{1}y_{1}z_{1}} + i{x_{1}y_{1}z_{2}} − i{x_{1}y_{2}z_{1}} + {x_{1}y_{2}z_{2}}
+ i{x_{2}y_{1}z_{1}} − {x_{2}y_{1}z_{2}} + {x_{2}y_{2}z_{1}} − i{x_{2}y_{2}z_{2}}]
= g{x_{1}y_{1}z_{1}} + ig{x_{1}y_{1}z_{2}} − ig{x_{1}y_{2}z_{1}} + g{x_{1}y_{2}z_{2}}
+ ig{x_{2}y_{1}z_{1}} − g{x_{2}y_{1}z_{2}} + g{x_{2}y_{2}z_{1}} − ig{x_{2}y_{2}z_{2}}
= {(gx_{1}) (g^{#}y_{1}) (gz_{1})} + i{(gx_{1}) (g^{#}y_{1}) (gz_{2})} − i{(gx_{1}) (g^{#}y_{2}) (gz_{1})}
+ {(gx_{1}) (g^{#}y_{2}) (gz_{2})} + i{(gx_{2}) (g^{#}y_{1}) (gz_{1})} − {(gx_{2}) (g^{#}y_{1}) (gz_{2})}
+ {(gx_{2}) (g^{#}y_{2}) (gz_{1})} − i{(gx_{2}) (g^{#}y_{2}) (gz_{2})}
= {(gx_{1} + igx_{2}) (g^{#}y_{1} + ig^{#}y_{2}) (gz_{1} + igz_{2})}
= {g̃(x_{1} + ix_{2}) g̃^{#}(y_{1} + iy_{2}) g̃(z_{1} + iz_{2})}.

Daher gilt nun g̃ ∈ Str(U) und (g̃)^{#} = ˜(g^{#}). Offensichtlich gilt auch noch g̃_{|E} = g bzw. g̃τ = τg̃. Wir können also Str(E) mit {g ∈ Str(U) : gτ = τg} identifizieren und erhalten so alle gewünschten Aussagen über Str(E) aus den Sätzen über die Strukturgruppe im komplexen Fall.

Um den Zusammenhang zu reellen Formen noch besser hervorzuheben, stellen wir folgendes fest: Die Konjugation τ auf U induziert einen reellen Gruppenautomorphismus T: g ↦ τgτ der Periode 2 auf Str(U) mit der zusätzlichen Eigenschaft (τgτ)^{#} = τg^{#}τ. Wir erhalten also zwei Konjugationen # und T auf Str(U). Bezeichnen wir, wie bei reellen Formen von Tripelsystemen, die Fixpunktmengen mit hochgestellten Konjugationssymbolen, so erhalten wir als Zusammenfassung in Kurzform folgende schöne Darstellung: 6.10 Satz Sei U ein komplexes JB^{∗}-Tripel, τ eine Konjugation und E = U^{τ} die reelle Form, dann gilt das Diagramm:

Str(U)
↗  ↖
Aut(U) = (Str(U))^{#}  (Str(U))^{T} = Str(U^{τ}) = Str(E)
↖  ↗
Aut(U) ∩ Str(E) =
(Aut(U))^{T} = Aut(E) = (Str(E))^{#}.

Dabei bedeutet A → B, daß A reelle Untergruppe bzw. als Fixpunktmenge einer Konjugation in B enthalten ist.

6.11 Korollar Die Strukturgruppen der reellen Cartanfaktoren enthalten folgende offenen Untergruppen (Bezeichnungen wie in Satz 4.1):

Str(I_{n,m}^{IR}) ⊇ {x ↦ axb : a ∈ GL(Y) b ∈ GL(X)}
Str(I_{2p,2q}^{IH}) ⊇ {w ↦ awb : a ∈ GL(Q) b ∈ GL(P)}
Str(I_{n,n}^{C}) ⊇ {z ↦ ±aza^{∗} : a ∈ GL(H)}
Str(E) ⊇ {x ↦ ±axa′ : a ∈ GL(X)} für E = II_{n}^{IR} oder E = III_{n}^{IR}
Str(E) ⊇ {w ↦ ±awa^{∗} : a ∈ GL(P)} für E = II_{2p}^{IH} oder E = III_{2p}^{IH}
Str(IV_{n}^{r,s}) ⊇ IR^{∗} × SO(r, s; IR).

Beweis. In jedem der acht Fälle rechnen wir die Behauptung nach, indem wir zur geeigneten Hermitifizierung U und Konjugation τ des reellen Cartanfaktors E = U^{τ} übergehen und die reelle Form der bekannten Einskomponente der Strukturgruppe von U bestimmen, d.h. wir machen die Identifikation Str(E) = {g ∈ Str(U) : gτ = τg}.

E = I_{n,m}^{IR}, U = I_{n,m} und τ(z) = z̄. Sei g_{a,b} ∈ Str(U). Wir erhalten g_{a,b}τ = τg_{a,b} genau dann, wenn ā^{−1}az = zb̄^{−1}b für alle z ∈ L(H, K) gilt. Wir wenden Lemma 1.2 (i) an und erhalten

ā^{−1}a = η^{2}11_{K} und b̄^{−1}b = η^{2}11_{H} für ein η ∈ C^{∗}.

Aus a = η^{2}ā ergibt sich ā = \overline{η^{2}}a = \overline{η^{2}}η^{2}ā = |η^{2}|ā und somit notwendig |η| = 1. Ersetzen wir nun a durch ηa und b durch ηb, so ändern wir g_{a,b} nicht, dürfen aber annehmen, daß

a = ā und b = b̄

gilt. Also lassen sich a und b auf die reellen Formen Y von K bzw. X von H beschränken, d.h. a ∈ GL(Y), b ∈ GL(X). In allen anderen Fällen funktioniert dieselbe Idee mit nur leichten Abweichungen, weshalb wir nur eine Kurzform der Berechnungen vorstellen.

E = I_{2p,2q}^{IH}, U = I_{2p,2q} und τ(z) = −jz̄j. Sei g_{a,b} ∈ Str(U). g_{a,b}τ = τg_{a,b} gilt genau dann, wenn ā^{−1}jajz = zb̄^{−1}jbj für alle z ∈ L(H, K) gilt. Wieder mit Lemma 1.2 (i) erhalten wir ā^{−1}jaj = η^{2}11_{K} und b̄^{−1}b = η^{2}11_{H} für ein η ∈ C^{∗}. Aus jaj = η^{2}ā bzw. a = η^{2}jāj erhalten wir mit j = j̄ folgendes: jāj = \overline{jaj} = \overline{η^{2}}ā = |η^{2}|^{2}jāj und somit notwendig wieder |η| = 1. Setzen wir nun c: = η̄a und d: = η̄b, so gilt g_{a,b} = g_{c,d} und ferner c̄j = \overline{η̄a}j = ηāj = ηη^{−2}ja = η̄ja = jη̄a = jc und ebenso d̄j = jd. Das heißt gerade, daß c und d IH-linear sind, also c ∈ GL(Q), d ∈ GL(P).

E = I_{n,n}^{C}, U = I_{n,n} und τ(z) = z^{∗}. Sei g_{a,b} ∈ Str(U). g_{a,b}τ = τg_{a,b} gilt genau dann, wenn b^{∗}az = za^{∗}b für alle z ∈ L(H, K) gilt. Mit Lemma 1.2 (i) erhalten wir b^{∗}a = η11_{H} = a^{∗}b für ein η ∈ C^{∗}, wegen η^{∗} = η muß sogar η ∈ IR^{∗} gelten. Für η > 0 setzen wir ν: = 1/\sqrt{η} und ersetzen a durch νa und b durch νb. Dies läßt g_{a,b} unverändert, aber wir dürfen a^{∗}b = b^{∗}a = 11_{H} annehmen, also gilt g_{a,b}(z) = aza^{∗}. Für η < 0 setzen wir ν: = 1/\sqrt{−η}, verfahren weiter wie oben und erhalten g_{a,b}(z) = −aza^{∗}.

E = II_{n}^{IR}, U = II_{n} und τ(z) = z̄. Sei g_{a} ∈ Str(U). g_{a}τ = τg_{a} gilt genau dann, wenn ā^{−1}az = za^{∗}(a′)^{−1} für alle z = −z′ ∈ L(H) gilt. Mit Lemma 1.2 (iii) ergibt sich ā^{−1}a = η11_{H} = a^{∗}(a′)^{−1} = (a^{−1}ā)′ für ein η ∈ C^{∗}. Aus a = ηā folgt wieder |η| = 1, und wegen η̄ = \overline{ā^{−1}a} = a^{−1}ā = (a^{−1}ā)′ = η muß η ∈ IR^{∗} gelten und damit η ∈ {±1}. Dies liefert a = ±ā, in beiden Fällen läßt sich a auf die reelle Form X von H beschränken, also a ∈ GL(X). Wie schon bei der Bestimmung der Automorphismengruppe brauchen wir aber durch den Wegfall der Multiplikation mit i ∈ C die beiden Vorzeichen, also erhalten wir x ↦ ±axa′. Der Fall E = III_{n}^{IR} läuft völlig identisch.

E = II_{2p}^{IH}, U = II_{2p} und τ(z) = −jz̄j. Sei g_{a} ∈ Str(U). g_{a}τ = τg_{a} gilt genau dann, wenn jā^{−1}jaz = zja^{∗}j(a′)^{−1} für alle z = −z′ ∈ L(H). Wir wenden wieder einmal Lemma 1.2 (iii) an und erhalten jā^{−1}ja = η11_{H} = ja^{∗}j(a′)^{−1} für ein η ∈ C^{∗}. Aus η^{−1} = ((ja^{∗}j(a′)−1)^{−1})′ = (a′j(a^{∗})^{−1}j)′ = jā^{−1}ja = η folgt notwendig η ∈ {±1}.

1. Fall: η = −1. Dann haben wir ja = āj, d.h. a ∈ GL(P). Wie schon bei der Darstellung von II_{2p}^{IH} als {w = w^{∗} ∈ L(P)} und der Automorphismengruppe Aut(II_{2p}^{IH}) = {w ↦ ±uwu^{∗} : u ∈ Sp(P)} müssen wir nun noch den Automorphimus z ↦ zj von L(H) anwenden und erhalten zj = w ↦ (a(−wj)a′)j = −awa^{∗}j^{2} = awa^{∗}.

2. Fall: η = 1. Dann ist b := ia IH-linear und g_{a} = −g_{b}. Wir erhalten also für g_{b} das Strukturgruppenelement w ↦ bwb^{∗} und somit für g_{a} eben w ↦ −awa^{∗}. Der Fall E = III_{2p}^{IH} läuft völlig identisch.

E = IV_{n}^{r,s}, U = IV_{n} und τ(z) = h(z̄) mit

h = ( \begin{matrix}11_{r} & 0 \\ 0 & −11_{s} \end{matrix} ) .  Wir definieren  k := ( \begin{matrix}11_{r} & 0 \\ 0 & i11_{s} \end{matrix} ) .

Damit schreiben wir SO(n; C) = k SO(r, s; C)k. Sei nun g ∈ SO(n; C) ⊆ Str(U). Es gilt gτ = τg genau dann, wenn hg = ḡh. Wir können g schreiben als g = kg̃k mit g̃ ∈ SO(r, s; C). Die Bedingung ḡh = hg wird nun zu

\overline{kg̃k}h = hkg̃k = k̄g̃k̄h da hk = k̄

ist. Somit erhalten wir g̃ = \overline{g̃}, d.h. g̃ ∈ SO(r, s; IR). Statt der Multiplikation mit t ∈ C^{∗} wie im Falle von Str(U) erhalten wir hier natürlich nur die Multiplikation mit t ∈ IR^{∗}. Daher gilt die Behauptung.

Wir kommen nun zurück zu den komplexen Cartanfaktoren und der Frage nach weiteren Komponenten deren Strukturgruppen. Wir fassen das bisher erreichte nochmals kurz zusammen:

Für einen komplexen nicht-exzeptionellen Cartanfaktor U ist die Strukturgruppe G: = Str(U) eine algebraische Untergruppe von GL(U) und eine komplexe Banach-Liegruppe. Sie enthält die Automorphismengruppe Aut(U) als reelle Form, insbesondere als Fixpunktmenge der Abbildung g ↦ g^{#}. Diese Information und die Kenntnis der Automorphismengruppe ermöglichte es, zumindest die Einskomponente G^{0} von Str(U) zu bestimmen, indem wir die Lie-Algebra berechneten. Die ganze Gruppe G könnte aber noch weitere Translate der Einskomponente enthalten. Es wäre z.B. möglich, daß die Abbildung g ↦ g^{#} einfach zwei solcher Translate vertauscht und somit keine weiteren Fixpunkte dort hat, oder aber auch auf einem Translat fixpunktfrei operiert.

Wir wollen zeigen, daß außer in einigen Fällen, wo offensichtlich direkt anzugebende weitere Komponenten vorhanden sind, die Strukturgruppen der nicht-exzeptionellen Cartanfaktoren zusammenhängend und damit gleich ihren Einskomponenten sind. Dazu machen wir die entscheidende

Vorüberlegung.

Die Strukturgruppe wirkt vermöge Konjugation auf ihrer Liealgebra. Wir vergleichen die Wirkung eines beliebigen Elements mit der eines Elements aus der Einskomponente. Daraus erhalten wir Bedingungen. Nun erinnern wir uns, daß wir es mit Räumen von linearen Operatoren auf Hilberträumen (bzw. im Fall des Spinfaktors mit einem Hilbertraum) zu tun haben. Die gefundenen Bedingungen, auf diese Ebene übersetzt, liefern uns dann, daß das ursprünglich gewählte Element bereits in einer der bekannten Komponenten sein muß.

Präziser: Für einen komplexen Cartanfaktor U haben wir folgende Situation

\begin{matrix}Str(U) =: & G ↪ \\ exp & ↑ \\ 𝔤 ↪ \end{matrix} \begin{matrix}GL(U) \\ ↑ exp \\ 𝔤𝔩(U). \end{matrix}

Jedes g ∈ GL(U) wirkt auf 𝔤𝔩(U) vermöge φ_{g} : X ↦ gXg^{−1}. Dabei ist φ_{g} ein Automorphismus der assoziativen Struktur L(U) und somit auch ein Lie-Automorphismus von 𝔤𝔩(U). Da G eine algebraische Untergruppe von GL(U) ist, gilt die in [17] Theorem 1 angegebene Charakterisierung

𝔤 = {X ∈ 𝔤𝔩(U) : exp(tX) ∈ G ∀t ∈ IR}.

Wegen exp(gXg^{−1}) = g exp(X)g^{−1} ist 𝔤 invariant unter φ_{g} für alle g ∈ G: φ_{g}(𝔤) = 𝔤. Also stellt die Restriktion von φ_{g} auf 𝔤 einen Liealgebra-Automorphismus von 𝔤 dar (den wir im folgenden ebenfalls mit φ_{g} bezeichnen werden). Nun müssen wir die konkrete Kenntnis von 𝔤 ausnützen und daher die verschiedenen Cartanfaktoren wieder getrennt behandeln. Am einfachsten ist der Fall des Cartanfaktors IV_{n}, dort gilt der

6.12 Satz

Str(IV_{n}) = {z ↦ tg(z) : t ∈ C^{∗} g ∈ O(n; C)}.

Beweis. Wir kennen die Liealgebra 𝔰𝔱𝔯(IV_{n}) ≅ C +𝔰𝔬(n; C). Sei nun g ∈ Str(IV_{n}). Für X = −X′ ∈ 𝔰𝔬(n; C) gilt nach obiger Überlegung gXg^{−1} ∈ 𝔰𝔬(n; C), d.h. (gXg^{−1})′ = −gXg^{−1}. Daraus ergibt sich aber

g′gX = Xg′g für alle X = −X′ ∈ L(H).

Deswegen erhalten wir mit Lemma 1.2 (i) ein μ ∈ C mit g′g = μ11_{H}. Offensichtlich ist aber für X ∈ 𝔰𝔬(n) auch g^{−1}Xg ∈ 𝔰𝔬(n), und mit derselben Argumentation wie oben erhalten wir ein ν ∈ C mit gg′ = ν11_{H}. Nun folgt

ν^{2}11 = gg′gg′ = μgg′ = νμ11, d.h. ν = μ und gg′ = g′g = μ11.

Wir wählen ein η ∈ C derart, daß η^{2} = μ gilt und setzen ηk: = g. Damit erhalten wir kk′ = k′k = \frac{1}{η^{2}} g = \frac{1}{μ}g = 11 und somit k ∈ O(n; C). Dann ist aber g ∈ (C^{∗} × O(n; C)) wie behauptet. Str(IV_{n}) ist also wie schon Aut(IV_{n}) genau dann zusammenhängend, wenn n ungerade oder unendlich ist.

6.13 Korollar

Str(IV_{n}^{r,s}) = {z ↦ tg(z) : t ∈ IR^{∗} g ∈ O(r, s; IR)}

Beweis. Klar.

Im Falle des komplexen Cartanfaktors I_{n,m} wenden wir eine Technik an, die bereits in [25] verwendet wurde. Dort ging es um die Bestimmung von Automorphismengruppen Graßmannscher Mannigfaltigkeiten, welche insbesondere eine Bestimmung der Isometriengruppe von I_{n,m} mit sich brachte. Es bestehen also enge Verbindungen.

6.14 Satz Für n ≠ m ist Str(I_{n,m}) zusammenhängend. Im Fall n = m > 1 gibt es genau eine weitere Zusammenhangskomponente. Konkret gilt:

Str(I_{n,m}) = {z ↦ azb : a ∈ GL(K), b ∈ GL(H)} für n ≠ m,
Str(I_{n,n}) = {z ↦ azb : a, b ∈ GL(H)} ˙∪{z ↦ az′b : a, b ∈ GL(H)} für n > 1.

6.15 Korollar Die Strukturgruppen der reellen Cartanfaktoren sind:

Str(I_{n,m}^{IR}) = {x ↦ axb : a ∈ GL(Y), b ∈ GL(X)} für n ≠ m,
Str(I_{n,n}^{IR}) = {x ↦ axb : a, b ∈ GL(X)} ∪ {x ↦ ax′b : a, b ∈ GL(X)} für n > 1,
Str(I_{2p,2q}^{IH}) = {w ↦ awb : a ∈ GL(Q), b ∈ GL(P)} für p ≠ q,
Str(I_{2p,2p}^{IH}) = {w ↦ awb : a, b ∈ GL(P)} ∪ {w ↦ aw′b : a, b ∈ GL(P)},
Str(I_{1,1}^{C}) = {z ↦ rz : r ∈ IR^{∗}}
Str(I_{n,n}^{C}) = {z ↦ ±aza^{∗} : a ∈ GL(H)} ∪ {z ↦ ±az′a^{∗} : a ∈ GL(H)} für n > 1.

Beweis des Satzes. Seien U: = I_{n,m} und g ∈ Str(U). Wir kennen

𝔤: = 𝔰𝔱𝔯(U) = {z ↦ az + zb : a ∈ L(K) b ∈ L(H)} = 𝔞 + 𝔟,

wobei 𝔞: = {z ↦ az : a ∈ L(K)} die Linksmultiplikationen und 𝔟: = {z ↦ zb : b ∈ L(H)} die Rechtsmultiplikationen bezeichne (vgl. Kapitel 1). Nun setzen wir 𝔠: = {z ↦ az : a ∈ 𝔰𝔩(K)} und 𝔡: = {z ↦ zb : b ∈ 𝔰𝔩(H)} Dabei ist 𝔰𝔩(H) wie folgt definiert: Für einen Operator a : H → H von endlichem Rang heiße die Spur von a_{|a(H)} auch die Spur von a. 𝔰𝔩(H) bezeichne dann die Menge aller stetigen linearen Operatoren auf H von endlichem Rang mit Spur Null. Es gilt der folgende

6.16 Hilfssatz [Prop. 1A, Chapter 2 in [15]] 𝔰𝔩(H) ist ein Lie-Ideal in 𝔤𝔩(H) und zwar ein minimales Ideal derart, daß es das Zentrum Z = {t11_{H} : t ∈ C} in 𝔤𝔩(H) nur trivial schneidet.

Der von g auf 𝔤 induzierte Automorphismus φ_{g} läßt das Zentrum fest und führt minimale Ideale in ebensolche über. Es gibt also zwei Fälle zu betrachten:

1) φ_{g}(𝔠) = 𝔠 und φ_{g}(𝔡) = 𝔡

2) φ_{g}(𝔠) = 𝔡 und φ_{g}(𝔡) = 𝔠

zu 1) Der Annihilator Ann(𝔠) eines Ideals 𝔠 ist definiert als Ann(𝔠) := {x ∈ 𝔤 : [a, x] = 0 ∀a ∈ 𝔠} und ist wegen der Jacobi-Identität wieder ein Ideal, denn sei b ∈ Ann(𝔠), dann gilt für alle a ∈ 𝔠 und x ∈ 𝔤:

−[a, [x, b]] = [x, [a, b]] + [b, [a, x]] = [x, 0] + [b, a′] = 0, wobei a′: = [b, a] ∈ 𝔠.

Da Rechts- und Linksmultiplikation in 𝔤𝔩(U) kommutieren, gilt 𝔞 ⊆ Ann(𝔡) und 𝔟 ⊆ Ann(𝔠). Im Falle endlicher Dimensionen n, m gilt sogar Gleichheit, da wir dann die Zerlegung 𝔤𝔩(H) = 𝔰𝔩(H) ⊕ C11_{H} haben. Allgemeiner gilt folgender

6.17 Hilfssatz Kommutiert ein Operator in L(H, K) mit allen Linksmultiplikationen (Rechtsmultiplikationen) so muß er bereits eine Rechtsmultiplikation (Linkssmultiplikation) sein.

Der Beweis folgt mit Lemma 1 in [25]. Gäbe es nun ein ψ ∈ Ann(𝔠), das keine Rechtsmultiplikation ist, so gäbe es auch eine Linksmultiplikation, die nicht damit kommutiert. Die Einschränkung auf einen geeigneten endlichdimensionalen Teilraum ergäbe eine Linksmultiplikation endlichen Ranges, die nicht mit ψ kommutiert, und daher auch ein Element aus 𝔠, das nicht damit kommutiert, was unmöglich ist. Also gilt:

𝔞 = Ann(𝔡) und 𝔟 = Ann(𝔠)

Ein Liealgebra-Automorphismus respektiert aber die Annihilatorbildung, d.h. für φ ∈ Aut(𝔤𝔩(U)) und 𝔠 ◁ 𝔤𝔩(U) gilt φ(Ann(𝔠)) = Ann(φ(𝔠)). Insbesondere gilt hier φ_{g}(𝔞) = φ(Ann(𝔠)) = Ann(φ_{g}𝔠) = Ann(𝔠) = 𝔞 und ebenso φ_{g}(𝔟) = 𝔟. Damit läßt φ_{g} also 𝔞 und 𝔟 fest und induziert daher Automorphismen topologischer Vektorräume auf L(H) bzw. L(K) wie folgt:

Für a ∈ L(K) ist L_{a} = (z ↦ az) ∈ 𝔞, und da 𝔞 unter φ_{g} invariant ist, existiert ein b ∈ L(K), so daß φ_{g}(L_{a}) = L_{b} ∈ 𝔞. Wir nutzen diese Gleichung definitorisch für

λ : L(K) → L(K) : φ_{g}(L_{a}) =: L_{λ(a)}.

Ebenso erhalten wir μ : L(H) → L(H) : φ_{g}(R_{b}) =: R_{μ(b)}. Dabei hängen λ und μ natürlich von g ab. Beide respektieren die Lie-Struktur von 𝔤𝔩(K) bzw. 𝔤𝔩(H), da φ_{g} dies tut. Doch noch mehr ist richtig. Da 𝔞 und 𝔟 sogar bezüglich der assoziativen Struktur von L(U) abgeschlossen sind, ist die Einschränkung von φ_{g} auf 𝔞 bzw. 𝔟 ein assoziativer Automorphismus dort und so respektieren auch λ und μ die assoziative Struktur. Nun wenden wir auf beide Lemma 3 in [25] an und erhalten:

Es existieren topologische Isomorphismen

\begin{matrix}k: K → K mit λ(a) = kak^{−1} ∀a ∈ L(K) \\ l: H → H mit μ(b) = lbl^{−1} ∀b ∈ L(H). \end{matrix}

Nun setzen wir h(z): = kzl^{−1} für alle z ∈ U, d.h. h ∈ G^{0} = Str^{0}(U). Dann gilt φ_{g} = φ_{h} bzw. hXh^{−1} = gXg^{−1} für alle X ∈ 𝔤. Anders gewendet

g^{−1}hX = Xg^{−1}h ∀X ∈ 𝔤 = 𝔞 + 𝔟.

Das bedeutet, daß ĝ: = g^{−1}h ∈ Str(I_{n,m}) mit allen Rechts- und Links- Multiplikationen kommutiert. ĝ muß also sowohl Links- als auch Rechts-Multiplikation sein, d.h. im Zentrum liegen, also ĝ = t11 für ein geeignetes t ∈ C^{∗}. Dann gilt aber g = t^{−1}h ∈ G^{0}, daher ist Str(U) in diesem Fall zusammenhängend.

zu 2) Falls φ_{g}(𝔠) = 𝔡 und φ_{g}(𝔡) = 𝔠, so folgt mit derselben Argumentation wie oben, daß dann auch φ_{g}(𝔟) = 𝔞 und φ_{g}(𝔞) = 𝔟 gilt. Analog zur obigen Konstruktion wird nun ein Isomorphismus von L(H) auf L(K) induziert. Da H und K Hilberträume sind, muß notwendig H ≅ K gelten, also n = m, und wir dürfen H = K annehmen. Dann ist σ(z): = z′ ein Automorphismus von U und es gilt:

σ ∘ φ_{g}(𝔞) = 𝔞  und  σ ∘ φ_{g}(𝔟) = 𝔟.

Damit läßt sich die Argumentation wie im ersten Fall fortsetzen, und also existieren k, l : H → H derart, daß φ_{g} gegeben wird durch

φ_{g}(L_{a} + R_{b})(z) = (lbl^{−1})′z′ + z′(kak^{−1})′.

Diesmal setzen wir h(z): = (k^{−1})′z′l′ und erhalten g = th für geeignetes t ∈ C^{∗} wie oben, also ist g in der zweiten Zusammenhangskomponente.

Schließlich kommen wir zu den Cartanfaktoren U = II_{n} = {z ∈ L(H) : z = −z′} oder U = III_{n} = {z ∈ L(H) : z = z′}. Deren Strukturgruppe ist in endlicher Dimension zusammenhängend, außer im Fall II_{4}. Die Idee des Beweises ist dieselbe wie schon in 6.14, d.h. wir betrachten die Wirkung eines Elements g ∈ Str(U) auf die Liealgebra 𝔤: = 𝔰𝔱𝔯(U) und die dadurch induzierte Abbildung auf L(H). Anders als in 6.14 zerfällt 𝔤 diesmal nicht in eine Summe von Unteralgebren. Daher werden wir zunächst in einer Reihe von Hilfssätzen die notwendigen technischen Resultate bereitstellen und dazu erst einmal einige Operatoren, die wir häufig benötigen, definieren.

Waren im Beweis von 6.14 die Operatoren L_{a}, R_{a} auf I_{n,m} wichtig, so übernimmt deren Rolle nun der Operator M_{a}: = L_{a} + R_{a′} = (z ↦ az + za′) auf U. Damit können wir die Liealgebra der Strukturgruppe von U schreiben als 𝔰𝔱𝔯(U) = {M_{a} : a ∈ L(H)}. Wir werden außerdem mit den folgenden ganz konkreten Abbildungen rechnen: Seien n < ∞ und E_{ij} ∈ M(n, C) die Elementarmatrix mit einer 1 an der Stelle (i, j) und 0 sonst. Für a: = E_{ii} − E_{jj} (i ≠ j) definieren wir

p_{ij}(z): = M_{a}(z) = (E_{ii} − E_{jj})z + z(E_{ii} − E_{jj})

und für a: = E_{ij} (i ≠ j) außerdem

q_{ij}(z): = M_{a}(z) = E_{ij}z + zE_{ji}.

In Worten ausgedrückt wirken p_{ij} und q_{ij} folgendermaßen: p_{ij} multipliziert die i-Spalte und i-Zeile mit 1, die j-Spalte und Zeile mit -1 und addiert beides, wodurch an der Stelle (i, j) eine 0 entsteht, die restlichen Einträge in den anderen Zeilen werden 0. Dagegen setzt q_{ij} die j-Spalte und j-Zeile in die i-Spalte und i-Zeile und macht den Rest zu Null.

6.18 Hilfssatz Sei U einer der Cartanfaktoren II_{n} oder III_{n} und im Falle II_{n} sei n > 2. Dann sind 𝔰𝔱𝔯(U) und 𝔤𝔩(H) isomorph als Liealgebren. Insbesondere induziert für n < ∞ jedes Strukturgruppenelement g ∈ Str(U) einen Lie-Automorphismus λ auf 𝔰𝔩(n).

Beweis. Wir betrachten die Abbildung a ↦ M_{a} : 𝔤𝔩(H) → 𝔰𝔱𝔯(U). Diese ist offensichtlich linear und surjektiv. Die Injektivität erhalten wir mit Lemma 1.2. Denn sei M_{a} = 0, d.h. az + za′ = 0 für alle z = ±z′, dann gilt az = z(−a′) für alle z = ±z′ und daher a = t11 = −a′ für t ∈ C. Das aber impliziert notwendig t = 0. Wir rechnen noch nach, daß auch die Liestruktur berücksichtigt wird:

[M_{a}, M_{b}](z) = M_{a}M_{b}(z) − M_{b}M_{a}(z)
= a(bz + zb′) + (bz + zb′)a′ − b(az + za′) − (az + za′)b′
= abz + zb′a′ − baz − za′b′ = M_{ab}(z) − M_{ba}(z) = M_{[a,b]}(z).

Damit induziert für jedes g ∈ Str(U) der Isomorphismus φ_{g}: M_{a} ↦ gM_{a}g^{−1} von 𝔰𝔱𝔯(U) zunächst einen Isomorphismus

λ̃: M_{_{λ}(a)}: = gM_{a}g^{−1} auf 𝔤𝔩(H).

Für n < ∞ gilt 𝔤𝔩(n) = C11 ⊕ 𝔰𝔩(n). Wir können also jeden Lie-Automorphismus λ̃ ∈ Aut(𝔤𝔩(n)) als Operatormatrix schreiben, und zwar

λ̃ = ( \begin{matrix}a & α \\ β & λ \end{matrix} ) , wobei {a ∈ C^{∗}, \atop β: C → 𝔰𝔩(n),} {α: 𝔰𝔩(n) → C, \atop λ: 𝔰𝔩(n) → 𝔰𝔩(n).}

Da λ̃ das Zentrum invariant läßt, muß jedes Element der Form (t, 0) ∈ C11⊕𝔰𝔩(n) wieder von der Form (s, 0) sein, was also β = 0 impliziert. Wir sehen ferner

[t + x, s + y] = [x, y] ∈ 𝔰𝔩(n) für t + x, s + y ∈ C11 ⊕ 𝔰𝔩(n).

Da λ̃ ein Lie-Homomorphismus ist, also [λ̃x, λ̃y] = λ̃[x, y] gilt, muß λ̃ auch 𝔰𝔩(n) invariant lassen, was α = 0 impliziert. Wir haben insgesamt

λ̃ = ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ) , mit a ∈ C^{∗}, λ ∈ Aut(𝔰𝔩(n)).

Insbesondere läßt sich λ̃ auf 𝔰𝔩(n) einschränken und induziert dort auf diese Weise einen Lie-Automorphismus.

6.19 Hilfssatz Sei 3 ≤ n < ∞. Der Liealgebra-Automorphismus λ(a): = −a′ auf 𝔰𝔩(n) kann nicht von einem Strukturgruppenelement g ∈ Str(III_{n}) induziert sein.

Beweis. Wir nehmen an, die Behauptung sei falsch, d.h. wir finden ein g ∈ Str(III_{n}) derart, daß gM_{a}g^{−1} = M_{−a′} gilt, bzw. äquivalent dazu die Gleichung −h(a′z + za) = ah(z) + h(z)a′ für h: = g^{−1} und alle a ∈ 𝔰𝔩(n) erfüllt ist. Sei z = (z_{ij}) ∈ III_{n}. Ist n gerade, so gilt

p(z): = \frac{1}{2^{n−1}} ∏_{k=2}^{n} p_{1k}(z) = ( \begin{matrix}z_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) .

Also ist p eine Projektion. Da jedes p_{ij} mit h antikommutiert, d.h. p_{ij}h = −hp_{ij} gilt, und p ein Produkt einer ungeraden Anzahl der p_{ij} ist, gilt auch ph = −hp. Da p aber eine Projektion ist, erhalten wir ph = p^{2}h = −php = hp^{2} = hp. Somit muß hp = −hp gelten, doch da h invertierbar und p ≠ 0 ist, erhalten wir einen Widerspruch. Dieselbe Idee läßt sich auch für ungerade n durchführen, vorausgesetzt wir haben n ≥ 5. Wir finden diesmal die Projektion zu

p(z): = \frac{1}{2^{n}} (∏_{k=3}^{n} p_{1k})p_{12}^{2}(z) = ( \begin{matrix}z_{11} & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) .

Wieder haben wir p als Produkt einer ungeraden Anzahl der p_{ij}, und die Argumentation verläuft wie oben. Für n = 3 müssen wir konkreter rechnen. Seien dazu z ∈ III_{3} die Matrix, die an jeder Stelle eine 1 stehen hat, und h(z): = w = (w_{ij}). Dann gilt einerseits

−2h ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) = h(q_{12}p_{12}p_{13}(z)) = −q_{21}p_{12}p_{13}(w) = −4 ( \begin{matrix}0 & w_{11} & 0 \\ w_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

und andererseits

−4h ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) = h(q_{13}p_{13}p_{23}(z)) = −q_{31}p_{13}p_{23}(w) = −2 ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & w_{12} \\ 0 & w_{12} & 0 \end{matrix} ) .

Da h nur trivialen Kern hat, ist dies unmöglich.

6.20 Hilfssatz Sei U = II_{n} für 5 ≤ n < ∞. Der Liealgebra-Automorphismus λ(a): = −a′ auf 𝔰𝔩(n) kann nicht von einem Strukturgruppenelement induziert sein.

Beweis. Wir nehmen im Widerspruch dazu an, daß es ein g ∈ Str(U) gibt derart, daß gM_{a}g^{−1} = M_{−a′} für alle a ∈ 𝔰𝔩(n) gilt, bzw. daß für h: = g^{−1} gilt:

ah(z) + h(z)a′ = −h(a′z + za)  für alle  z = −z′ und a ∈ 𝔰𝔩(n).

Dann gilt insbesondere wieder p_{ij}h = −hp_{ij}. Wir berechnen

p(z): = p_{15}p_{14}p_{13}(z) = ( \begin{matrix}0 & z_{12} & 0 & 0 & 0 & z_{16} & … & z_{1n} \\ −z_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 \\ −z_{16} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ −z_{1n} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & … & 0 \end{matrix} )

für z = (z_{ij}), z_{ij} = −z_{ji}. Folglich ist p^{2} = p eine Projektion. Dann haben wir zum einen ph = −hp, da dies für jedes einzelne der drei p_{ij} gilt, und zum anderen auch p^{2}h = −php = hp^{2} d.h. hp = ph. Da h invertierbar ist, müßte p = −p = 0 sein, was falsch ist. Für den Sonderfall n = 4 siehe Bemerkung 6.26.

6.21 Hilfssatz Seien 3 ≤ n < ∞ und g ∈ Str(III_{n}) derart, daß gM_{a} = M_{a}g für alle a ∈ 𝔰𝔩(n). Dann ist g ein Vielfaches der Identität auf III_{n}.

Beweis. Sei g ∈ Str(III_{n}) gegeben. Die Voraussetzung schreiben wir als

g(az + za′) = ag(z) + g(z)a′ für alle a ∈ 𝔰𝔩(n),

was insbesondere besagt, daß g mit den Operatoren p_{ij}, q_{ij} kommutiert. Wir setzen F als die Menge aller endlichen Produkte dieser Operatoren. Dann kommutiert g also mit jedem Element von F. Wir weisen nach, daß F irreduzibel ist, und somit die Behauptung aus dem Lemma von Schur folgt. Da die Technik des Beweises schon im Fall n = 3 deutlich wird, behandeln wir diesen zunächst ausführlich. Sei also g ∈ Str(III_{3}) gegeben, so daß g(az+za′) = ag(z)+g(z)a′ für alle a ∈ 𝔰𝔩(3) gilt. Die Menge F läßt sich schreiben als

F = {∏_{k=1}^{m} a_{k} : a_{k} ∈ {p_{ij}, q_{ij}}, 1 ≤ i, j ≤ 3, m ∈ IN}.

Sei nun 0 ≠ z = (z_{ij}) ∈ III_{3} in einem F -invarianten Unterraum V ⊆ III_{3}. Wir müssen zeigen, daß V = III_{3} gilt. Es existieren 1 ≤ r, s ≤ 3 derart, daß z_{rs} ≠ 0 ist. Falls r ≠ 1 und s = 1 bzw. r, s ≠ 1, so gilt

p_{12}p_{13}q_{1r}(z) = ( \begin{matrix}8z_{1r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) bzw. q_{1r}q_{1s}(z) = ( \begin{matrix}2z_{rs} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Da V aber als F -invariant vorausgesetzt war, muß notwendig p_{12}p_{13}q_{1r}(z) ∈ V bzw. q_{1r}q_{1s}(z) ∈ V gelten, d.h. wir dürfen (r, s) = (1, 1) und somit CE_{11} ⊆ V annehmen. Mit der gleichen Methode erhalten wir weiter

q_{12}(E_{11}) = E_{12} + E_{21}, also folgt C(E_{12} + E_{21}) ⊆ V.

Fahren wir weiter fort, so erhalten wir C(E_{ij} + E_{ji}) ⊆ V für alle 1 ≤ i, j ≤ 3. Damit haben wir aber gezeigt, daß eine Basis von III_{3} in V liegt, also tatsächlich V = III_{3} gilt. Es ist sofort klar, daß nirgends von der Einschränkung n = 3 Gebrauch gemacht wurde, außer um die Darstellung übersichtlich zu halten. Der Beweis funktioniert für alle 3 ≤ n < ∞ ebenso.

6.22 Hilfssatz Seien 3 ≤ n < ∞ und g ∈ Str(II_{n}) derart, daß gM_{a} = M_{a}g für alle a ∈ 𝔰𝔩(n). Dann ist g ein Vielfaches der Identität auf II_{n}.

Beweis. Wie schon im vorangegangenen Beweis schreiben wir die Voraussetzung als ag(z) + g(z)a′ = g(az + za′) für alle z = −z′ und a ∈ 𝔰𝔩(n). Insbesondere ergibt sich für die oben definierten Operatoren also p_{ij}g = gp_{ij}. Für feste 1 ≤ r, s ≤ n, r ≠ s berechnen wir

p(z): = ( ∏_{{k=1 \atop k≠r,s}}^{n} p_{rk})(z) = ( \begin{matrix}0 & … & 0 & … & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & 0 & … & z_{rs} & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ... & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & … & −z_{rs} & … & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & … & 0 & … & 0 \end{matrix} ) .

Offensichtlich ist p eine Projektion, die nach Konstruktion mit g kommutiert. Daher läßt g jeden eindimensionalen Unterraum der Form C(E_{rs} − E_{sr}) invariant. Da g linear ist, muß es also auf jedem dieser Unterräume eine Multiplikation sein. Wir erhalten:

∀i ≠ j ∃t_{ij} ∈ C^{∗} : g(E_{ij} − E_{ji}) = t_{ij}(E_{ij} − E_{ji}).

Für die Operatoren q_{ij} gilt allerdings

q_{ki}q_{lj}(E_{ij} − E_{ji}) = q_{ki}(E_{il} − E_{li}) = (E_{kl} − E_{lk}).

Da auch die q_{ij} mit g kommutieren, gilt

\begin{aligned}t_{kl}(E_{kl} − E_{lk}) & = g(E_{kl} − E_{lk}) = g(q_{ki}q_{lj}(E_{ij} − E_{ji})) = q_{ki}q_{lj}g(E_{ij} − E_{ji}) \\ & = t_{ij}q_{ki}q_{lj}(E_{ij} − E_{ji}) = t_{ij}(E_{kl} − E_{lk}), \end{aligned}

d.h. t_{kl} = t_{ij} =: t für alle (k, l), (i, j). Die Abbildung g ist also auf jedem der Unterräume C(E_{ij} − E_{ji}) eine Multiplikation mit einem festen Wert t ∈ C^{∗} und II_{n} ist gerade der Aufspann aller dieser Unterräume. Daher gilt g = t11.

6.23 Satz Sei U einer der Cartanfaktoren II_{n} oder III_{n} für n < ∞. Es gilt

Str(II_{4}) = {z ↦ aza′ : a ∈ GL(4)} ∪ {z ↦ aθ(z)a′ : a ∈ GL(4)}.

In den anderen Fällen ist Str(U) = {z ↦ aza′ : a ∈ GL(H)} zusammenhängend.

Beweis. Für U = III_{2} vergleiche Bemerkung 6.25. Für kleine Dimensionen von II_{n} haben wir die Isomorphien II_{2} ≅ I_{1,1} und II_{3} ≅ I_{1,3} sowie II_{4} ≅ IV_{6}, und die Behauptung folgt aus den Sätzen 6.14 und 6.12. Sei also nun n ≥ 3 für U = III_{n} bzw. n ≥ 5 für U = II_{n}. Seien ferner g ∈ Str(U) und λ der von g nach Hilfssatz 6.18 auf 𝔰𝔩(n) induzierte Isomorphismus. Dann ist λ von der Form λ(a) = xax^{−1} für ein x ∈ GL(n). Die einzige andere Möglichkeit für λ wäre nämlich λ(a) = −ya′y^{−1} für ein y ∈ GL(n) (vgl. Chapter IX, Theorem 5 in [24]). Dann aber wäre für h(z): = y^{−1}z(y′)^{−1} auch hg ∈ Str(U) und der von hg auf 𝔰𝔩(n) induzierte Automorphismus wäre a ↦ −a′, was im Widerspruch zu 6.19 und 6.20 steht. Nun setzen wir h(z): = xzx′, d.h. h ∈ Str^{0}(U). Dann gilt gM_{a}g^{−1} = hM_{a}h^{−1} für alle a ∈ 𝔰𝔩(n) oder äquivalent g̃M_{a} = M_{a}g̃ für g̃: = h^{−1}g ∈ Str(U). Wegen 6.21 und 6.22 gilt nun g̃ = t11_{U} für t ∈ C^{∗} geeignet, also g = th ∈ Str^{0}(U).

6.24 Korollar Für die zugehörigen reellen Cartanfaktoren ergeben sich die Strukturgruppen zu

Str(E) = {x ↦ ±axa′ : a ∈ GL(X)} für E = II_{n}^{IR} (n ≠ 4) oder E = III_{n}^{IR}
Str(E) = {w ↦ ±awa^{∗} : a ∈ GL(P)} für E = II_{2p}^{IH} (n ≠ 2) oder E = III_{2p}^{IH}.

6.25 Bemerkung Für n = 2 gilt III_{2} ≅ IV_{3}, und daher ist Str(III_{2}) zusammenhängend. In diesem Fall kommt jedoch der Automorphismus a ↦ −a′ von 𝔰𝔩(2) tatsächlich vor,

allerdings wird er von h(z): = uzu′ mit u: = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) induziert, d.h. von einem Ele-

ment der Einskomponente von Str(III_{2}). Dies reflektiert die Tatsache, daß das Dynkin-Diagramm für 𝔰𝔩(2) nur aus einem Punkt besteht (vgl. [18]) und daher nur eine Klasse von Automorphismen existiert. 6.26 Bemerkung Die Beweisidee aus Hilfssatz 6.20 funktioniert für n = 4 nicht. Das liegt daran, daß die Matrizen sozusagen z̈u kleins̈ind, nicht genügend Einträge haben in dem Sinne, daß nach einer Anwendung einer ungeraden Anzahl der p_{ij} die triviale Projektion auf {0} entsteht, oder in dem Sinne, daß die ±1-Einträge in E_{ii} − E_{jj} nicht ẅeit genug auseinanderp̈laziert werden können, um durch Produkte einer ungeraden Anzahl der p_{ij} nichttriviale Projektionen erzeugen zu können.

Zusammenfassung Die Strukturgruppe eines komplexen JB^{∗}-Tripels U ist eine komplexe Banach-Liegruppe. Sie enthält die Automorphismengruppe von U als eine reelle Form. Jede Konjugation auf U induziert eine weitere Konjugation auf der Strukturgruppe. So ist auch die Strukturgruppe jeder reellen Form von U eine reelle Form der Strukturgruppe von U. Die Automorphismengruppe der reellen Form ist dann der Durchschnitt der Strukturgruppe der reellen Form mit der Automorphismengruppe von U.

Für die klassischen reellen und komplexen Cartanfaktoren wurden die Strukturgruppen berechnet und zum ersten Mal konkret angegeben. Für die Faktoren vom Typ II und III gelang dies leider nur in endlicher Dimension. Das lag vor allem daran, daß die Lie-Automorphismen der Lie-Algebra 𝔰𝔩(n) nur in endlicher Dimension bekannt waren. Eine Verallgemeinerung dieses Resultats könnte zusammen mit einem Stetigkeitsargument eine Verallgemeinerung von Satz 6.23 auf beliebige Dimension ermöglichen.

Literatur

1. Alvermann, K.: Real normed Jordan algebras with involution, Arch. Math. 47, 135–150 (1986)

2. Barton, T. J., Timoney, R. M.: Weak*-continuity of Jordan triple products and applications, Math. Scand. 59, 177–191 (1986)

3. Bonsall, F.F., Duncan, J.: Numerical ranges of operators on normed spaces and of elements of normed algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1971

4. Braun, H., Koecher, M.: Jordan-Algebren. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1966

5. Braun, R., Kaup. W., Upmeier, H.: A holomorphic characterization of Jordan C*-algebras, Math. Z. 161, 277–290 (1978)

6. Cartan, E.: Sur les domaines bornées homogènes de l’espace de n variables complexes. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11, 116–162 (1935)

7. Chu, C.H., Dang T., Russo, B., Ventura, B.: Surjective isometries of real C*-algebras, J. London Math. Soc. 2 47, 97–118 (1993)

8. Dang, T.: Real isometries between JB*-triples, Proc. Amer. Math. Soc. 114, 971–980 (1992)

9. Dang, T. C., Russo, B.: Real Banach-Jordan triples, Proc. Amer. Math. Soc. 122, 135–145 (1994)

10. Ebbinghaus, H.-D. et al.: Zahlen. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1983

11. Friedman, Y., Russo, B.: The Gelfand-Naimark theorem for JB*-triples, Duke Math. J. 53, 139– 148 (1986)

12. González, S. (ed.): Non-Associative Algebra and its Application, Kluwer Academic Publishers, Holland 1994

13. Goodearl, K. R.: Notes on Real and Complex C^{∗}-algebras, Shiva Publ. 1982

14. Hanche-Olsen, H., Størmer, E.: Jordan operator algebras, Monographs Stud. Math. 21 Pitman, Boston-London-Melbourne 1984

15. Harpe, P. de la :Classical Banach-Lie Algebras and Banach-Lie Groups of Operators on Hilbert Space. Lecture notes in Mathematics 285, Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1972

16. Harris, L.A.: Bounded symmetric homogeneous domains in infinite dimensional spaces. In: Lecture Notes in Mathematics Vol. 364. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1973

17. L.A.Harris, W.Kaup: Linear algebraic groups in infinite dimensions, Illinois J.Math. 21,666–674 (1977)

18. Helgason, S.: Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press 1962

19. Herves, J.: On linear isometries of Cartan factors in infinite dimensions, Ann. di Mat. pura ed App. CXLII, 371–379 (1985)

20. Horn, G.: Characterization of the predual and ideal structure of a JBW*-triple, Math. Scand. 61, 117–133 (1987)

21. Horn, G.: Classification of JBW*-Triples of Type I, Berlin-Heidelberg-New York: Springer , MAth.Z. 196 S.217–291 (1987)

22. Isidro, J. M., Kaup, W., Rodríguez, A.: On real forms of JB*-triples. manuscripta math. 86, 311–335 (1995)

23. Isidro, J. M., Rodríguez, A.: Isometries of JB-algebras. manuscripta math. 86, 337–348 (1995)

24. Jacobson, N.: Lie-Algebras, Interscience Publishers, John Wiley & Sons, New York, London 1962 25. Kaup, W.: Über die Automorphismen Graßmannscher Mannigfaltigkeiten unendlicher Dimension,

Math. Z. 144, 75–96 (1975)

26. Kaup, W.: Über die Klassifikation der symmetrischen Hermiteschen Mannigfaltigkeiten unendlicher Dimension I, II, Math. Ann. 257, 463-486 (1981); 262, 57-75 (1983)

27. Kaup, W.: A Riemann mapping theorem for bounded symmetric domains in complex Banach spaces, Math. Z. 183, 503–529 (1983)

28. Kaup, W.: Contractive Projections on Jordan C*-Algebras and Generalizations, Math. Scand. 54, (1984) 95–100

29. Kaup, W.: On JB*-triples defined by fibre bundles. manuscripta math. 87, 379–403 (1995)

30. Kaup, W.: On real Cartan factors. manuscripta math. 92, 191–222 (1997)

31. Kaup, W., Stachó, L.: Weakly Continuous JB*-triples, Math. Nachr. 166, 305–315 (1994)

32. Loos, O.: Jordan pairs. Lecture Notes in Mathematics Vol. 460. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1975

33. Loos, O.: Bounded symmetric domains and Jordan pairs, Mathematical Lectures. Irvine: University of California at Irvine 1977

34. Koecher, M.: An elementary approach to bounded symmetric domains. Lecture notes. Rice University, Houston (1969), 1–143.

35. Russo, B.: Structure of JB*-Triples; in: Jordan Algebras, proceedings on the conference held in Oberwolfach, ed. by W. Kaup et al., Berlin, New York, de Gruyter 1994

36. Upmeier, H.:Symmetric Banach Manifolds and Jordan C^{∗} Algebras, North Holland Mathematics Studies 104, 1985

37. Wright, J. D. M.: Jordan C^{∗}-algebras, Michigan Math. J. 24 291–302 (1977)

38. Wright, J. D. M., Youngson, M. A.: On isometries of Jordan algebras, J. London Math. Soc. 17, 339–344 (1978)