4. Reelle Cartanfaktoren und ihre Automorphismengruppen

Nun wollen wir das Wissen über komplexe Cartanfaktoren aus Kapitel 3 mit dem Konzept der reellen Formen aus [22] zusammenbringen. Wir nennen ein reelles JB^{∗}-Tripel einen reellen Cartanfaktor, falls es eine reelle Form eines komplexen Cartanfaktors ist. Unser erstes Ziel besteht darin, eine vollständige Klassifikation der reellen Cartanfaktoren zu erhalten und jeweils einen Repräsentanten konkret anzugeben wie schon in Kapitel 3 für komplexe Cartanfaktoren. Für endlichdimensionale Faktoren wurde dies bereits von Loos (Abschnitt 11.4 in [33]) erreicht. W. Kaup gelang eine Verallgemeinerung dieser Liste für beliebige Dimension (Theorem 4.1 in [30]). Außerdem bestimmte er die zu den reellen Cartanfaktoren gehörenden Automorphismengruppen (Proposition 5.1 ebenda). Wir wollen hier nun die dabei angewandte Technik beschreiben und ausführliche Beweise der Resultate geben.

Der Begriff der Äquivalenz reeller Formen aus Kapitel 2 überträgt sich natürlich sofort auf reelle Cartanfaktoren und sei hier nochmals kurz erwähnt. Für komplexe Cartanfaktoren U, V mit Konjugationen τ, σ heißen die reellen Cartanfaktoren U^{τ} und V^{σ} äquivalent, wenn es eine surjektive C-lineare Isometrie g: U → V gibt derart, daß σ = gτg^{−1} gilt, und dann haben wir g(U^{τ}) = V^{σ}. (Insbesondere können reelle Cartanfaktoren nur dann äquivalent sein, wenn sie von isomorphen komplexen Cartanfaktoren herkommen, d.h. wir können U = V annehmen.) Der Äquivalenzbegriff für reelle Cartanfaktoren (oder allgemeiner für reelle JB^{∗}-Tripel) wird damit auf die Äquivalenz der sie erzeugenden Konjugationen zurückgespielt. Die Äquivalenzklassen reeller Formen entsprechen also genau den Äquivalenzklassen der Konjugationen auf den komplexen Cartanfaktoren. Diese Menge der Konjugationen ist in der reellen Banach-Liegruppe aller semilinearen Automorphismen enthalten, die wir genau kennen. Wenn wir diese Kenntnis ausnutzen, erhalten wir mit den Bezeichnungen aus Kapitel 3 den ersten

4.1 Satz [Theorem 4.1 in [30]] Seien U ein nicht-exzeptioneller komplexer Cartanfaktor und T ⊂ Aut_{s}(U) die Menge aller Konjugationen auf U. Die Äquivalenzklassen in T haben genau folgende Form: I_{n,m} mit m ≥ n ≥ 1

(i) τ(z) = u\overline{z}v wo v = v′ ∈ U(n), u = u′ ∈ U(m)

(ii) τ(z) = u\overline{z}v wo v = −v′ ∈ U(n), u = −u′ ∈ U(m) falls n, m gerade
(iii) τ(z) = uz^{∗}u wo u ∈ U(n) falls n = m > 1

II_{n} mit n ≥ 2

(iv) τ(z) = u\overline{z}u wo u = u′ ∈ U(n)
(v) τ(z) = u\overline{z}u wo u = −u′ ∈ U(n) falls n > 2 gerade

für n = 4 vergleiche Bemerkung 4.3

III_{n} mit n ≥ 1 (vi) τ(z) = u\overline{z}u wo u = u′ ∈ U(n)

(vii) τ(z) = u\overline{z}u wo u = −u′ ∈ U(n) falls n gerade

IV_{n} mit n ≥ 3

(viii) τ(z) = tg(\overline{z}) wo t ∈ U(1) und g ∈ O(n) derart, daß g^{2} = 11_{U} und der +1-Eigenraum von g die Dimension r und der −1-Eigenraum die Dimension s haben. Dabei sind r ≥ s Kardinalzahlen mit r + s = n. Für n = 2 vergleiche Bemerkung 4.4.

Jede Äquivalenzklasse ist zusammenhängend außer (viii) für n gerade und endlich. Reelle Cartanfaktoren als Vertreter der Klassen (i) bis (viii) lassen sich wie folgt darstellen. H bezeichne einen komplexen Hilbertraum der Dimension n. X, Y bezeichnen reelle Hilberträume der Dimension n bzw. m, und P, Q bezeichnen quaternionale Hilberträume der Dimension p bzw. q über IH. Das Tripelprodukt in den Fällen (i) bis (vii) ist gegeben durch {xyx} = xy^{∗}x.

(i) I_{n,m}^{IR} = L(X, Y)  (ii) I_{2p,2q}^{IH} = L(P, Q)
(iii) I_{n,n}^{C} = {z ∈ L(H) : z^{∗} = z}  (iv) II_{n}^{IR} = {x ∈ L(X) : x′ = −x}
(v) II_{2p}^{IH} = {w ∈ L(P) : w^{∗} = w}  (vi) III_{n}^{IR} = {x ∈ L(X) : x′ = x}

(vii) III_{2p}^{IH} = {w ∈ L(P) : w^{∗} = −w}

(viii) IV_{n}^{r,s} = E, wo E als Banachraum die ℓ^{1}-Summe E = X_{1} ⊕^{1} X_{−1} abgeschlossener linearer Teilräume X_{j} ⊂ X ist, und es gilt dim_{IR}X_{1} = r, dim_{IR}X_{−1} = s und X_{−1} = X_{1}^{⊥}. Das Tripelprodukt auf E definieren wir mit Hilfe des Skalarprodukts (x y) auf X und der Involution x = (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, −x_{2}) =: x̄ auf E als

\{xyz\}: = (x y)z + (z y)x − (x \overline{z})\overline{y} .

4.2 Bemerkung Diese Notation für die reellen Cartanfaktoren stammt von Loos (Abschnitt 11.5 in [33]). Sie hat die schöne Eigenschaft, daß ein Streichen der oberen Indices gerade die Hermitifizierung der reellen Cartanfaktoren angibt.

4.3 Bemerkung Für n = 4 gilt II_{4} ≅ IV_{6}, und daher hat II_{4} neben den in (iv) und (v) angegebenen noch zwei weitere Äquivalenzklassen von Konjugationen. Je ein Vertreter

davon sind τ(z) = θ(z̄) und σ(z) = θ(jz̄j). Dabei sei j: = ( \begin{matrix}0 & e \\ −e & 0 \end{matrix} ) mit e= 11_{C}^{2} und θ

wie in 3.5. Wir erhalten die reellen Formen

U^{τ} ≅ IV_{6}^{4,2}  und  U^{σ} ≅ IV_{6}^{6,0}.

4.4 Bemerkung Für n = 2 sind IV_{2} ≅ C ⊕ C und IV_{2}^{1,1} ≅ IR ⊕ IR keine Faktoren. Im Gegensatz zu allen anderen reellen Cartanfaktoren ist IV_{2}^{2,0} ≅ C_{IR} komplexifizierbar.

Satz 4.1 ergibt mit den Resultaten 11.4 und 11.5 in [33] die Klassifizierung (Corollary 4.4 in [30]):

4.5 Korollar Jeder reelle Cartanfaktor ist bis auf Isomorphie genau einmal in der folgenden Aufzählung vertreten:

I_{n,m}^{IR}, I_{2n,2m}^{IH}, III_{2n}^{IH} für m ≥ n ≥ 1,  I_{n,n}^{C}, III_{n}^{IR} für n ≥ 2,
II_{2n}^{IH} für n ≥ 3,  II_{n}^{IR} für n ≥ 5,
IV_{n}^{r,s} für r ≥ s und r + s = n ≥ 5,  V^{O}, V^{O^{0}}, VI^{O}, VI^{O^{0}}.

Beweis von Satz 4.1. Auf jedem der klassischen Cartanfaktoren läßt sich eine Konjugation sofort angeben, nämlich z ↦ z̄. Für jede weitere Konjugation τ ist dann z ↦ τ(z̄) komplex-linear und daher ein Automorphismus von U. Da wir Aut(U) kennen, kennen wir auch alle Konjugationen. Nun nutzen wir die Bedingung τ^{2} = 11_{U} aus und berechnen, wann zwei Konjugationen τ und σ äquivalent sind. Wir tun dies für jeden der vier Faktoren separat, zunächst für U = I_{n,m}, n ≠ m sehr ausführlich.

1. Schritt: Bestimmung der Konjugationen Die Abbildung z ↦ τ(z̄) ist ein Automorphismus und hat daher die Form τ(z) = uz̄v mit u ∈ U(m) , v ∈ U(n) (vgl. Kapitel 3). Die Bedingung τ^{2} = 11_{U} ergibt z = τ^{2}(z) = uūzv̄v. Also muß für alle z ∈ U auch uūz = zv^{∗}v′ gelten. Daher gibt es wegen Lemma 1.2 (i) ein λ ∈ C derart, daß uū = λ11_{m} und v^{∗}v′ = λ11_{n} gilt. Da u, v unitär sind, muß λ sogar vom Betrag eins sein. Ferner gilt:

λ^{2}11_{m} = (uū)(uū) = u(ūu)ū = uū\overline{λ}11_{m} = λ\overline{λ}11_{m}.

Somit erhalten wir λ = \overline{λ}, d.h. λ ∈ \{±1\}. Damit gilt uūu′ = u′ oder uūu′ = −u′. Da außerdem ūu′ = (uu^{∗})′ = 11_{m} gilt und analoge Überlegung für v richtig sind, können wir den ersten Schritt folgendermaßen zusamenfassen:

Jede Konjugation τ auf U ist von der Form τ(z) = uz̄v mit unitären Operatoren u, v, die entweder beide symmetrisch oder beide schiefsymmetrisch sind.

2.Schritt: Äquivalenz von Konjugationen Sei τ̃(z) = ũz̄ṽ eine zweite Konjugation. Nach Definition sind τ und τ̃ genau dann äquivalent, wenn ein g ∈ Imt(U) = Aut(U) existiert, so daß τ̃ = gτg^{−1} gilt. g ist von der Form g(z) = czd mit c ∈ U(m), d ∈ U(n), und die Inverse berechnet sich zu g^{−1}(z) = c^{∗}zd^{∗}. Sind nun τ, τ̃ äquivalent, so gilt

ũz̄ṽ = gτg^{−1}(z) = cuc′z̄d′vd für alle z ∈ U.

Wir wenden Lemma 1.2 (i) auf (cuc′)^{∗}ũz = z(d′vd)v^{∗} an und erhalten wie oben ein λ^{2} ∈ C, |λ| = 1 mit (cuc′)^{∗}ũ = λ^{2}11_{m}. Dann ergibt sich für μ: = 1/λ aber μcu(μc)′ = ũ und μc ∈ U(m) (analog für v), und wir haben die Äquivalenz

τ ∼ τ̃ ⟺ ∃c ∈ U(m) d ∈ U(n) mit cuc′ = ũ , dvd′ = ṽ.

3.Schritt: Beschreibung der Aquivalenzklassen Sind u, v symmetrisch und τ ∼ τ̃, so sind offensichtlich auch ũ, ṽ symmetrisch, doch auch die Umkehrung gilt.

Für beliebige unitäre symmetrische Operatoren ũ, ṽ und τ̃(z) = ũz̄ṽ gilt τ ∼ τ̃.

Beweis. Die Menge {v ∈ U(n) : v = v′} = U(III_{n}) ist die Menge aller unitären Elemente des dritten Cartanfaktors, und wir wissen aus Kapitel 3, daß diese Menge nicht nur zusammenhängend sondern sogar ein U(n)/ O(1)-Orbit unter v ↦ dvd′ ist. Ist also ṽ ∈ U(III_{n}), so existiert ein d ∈ U(n) derart, daß dvd′ = ṽ gilt. Ebenso existiert für ũ ein c ∈ U(m) derart, daß cuc′ = ũ gilt. Damit setzen wir g(z): = czd′. Das beweist diese Zwischenbehauptung. Für schiefsymmetrische u, v, ũ, ṽ gilt die gleiche Aussage.

4.Schritt: Zusammenfassung Es gibt auf auf I_{n,m} für n ≠ m höchstens zwei Äquivalenzklassen von Konjugationen τ(z) = uz̄v, und zwar diejenigen mit symmetrischen u, v und diejenigen mit schiefsymmetrischen u, v. Beide Klassen sind zusammenhängend, da U(II_{n}) und U(III_{n}) zusammenhängend sind und die Abbildung

\begin{matrix}U(E) & × U(E) → T ⊂ Aut_{s}(U) \\ (u & , v) ⟼ (z ↦ uz̄v) \end{matrix}

für E = II_{n} oder E = III_{n} stetig und surjektiv auf je eine Klasse von Konjugationen ist. Sind u, v schiefsymmetrisch, so muß notwendig n, m ∉ 2IN + 1 gelten (vgl. Kapitel 3).

5.Schritt: Darstellung der reellen Formen Wir bestimmen noch je eine reelle Form als Vertreter der jeweiligen Äquivalenzklasse. Für symmetrische u, v wählen wir als Konjugation τ(z) = z̄ und suchen also U^{τ} = {z ∈ L(H, K) : z = z̄\}. Sei dazu z ∈ U^{τ}. Für x = x̄ ∈ H gilt z(x) = z̄(x̄) = \overline{z(x)} ∈ K, also läßt sich z auf die reellen Formen X bzw. Y von H bzw. K beschränken und ist dort bereits eindeutig bestimmt. Offenbar ist das Tripelprodukt von H auf der reellen Form gerade wie oben angegeben und wir erhalten

U^{τ} ≅ L(X, Y) =: I_{n,m}^{IR}.

Für schiefsymmetrische u, v müssen n = 2p, m = 2q gerade sein. Wir wählen für u, v die Operatoren −j_{K}, j_{H} und machen damit H, K zu quaternionalen Hilberträumen P, Q (vgl. 1.3). Die dazugehörige reelle Form U^{τ} = {z ∈ L(H, K) : z = −j_{K} z̄j_{H}} ist gerade durch die Bedingung j_{K}z = z̄j_{H} gegeben, also ist z ∈ U^{τ} genau dann, wenn z quaternional-linear ist. Bezüglich der Zerlegungen H = X ⊕X und K = Y ⊕Y schreiben wir z als Operatormatrix und sehen

z = −j_{K} z̄j_{H} ⇔ ( \begin{matrix}z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\overline{z_{22}} & \overline{z_{21}} \\ \overline{z_{12}} & \overline{z_{11}} \end{matrix} ) ⇔ z = ( \begin{matrix}z_{1} & −\overline{z_{2}} \\ z_{2} & \overline{z_{1}} \end{matrix} ) .

Die Abbildung z ↦ z_{1} + jz_{2} =: w liefert einen Tripelisomorphismus

U^{τ} ≅ L(P, Q) =: I_{2p,2q}^{IH}.

6.Schritt: Der Fall n = m Wir dürfen H = K annehmen. Dann ist z ↦ z′ ein weiterer Automorphismus, der eine neue Konjugation liefert und zumindest theoretisch unter den bekannten Konjugationen neue Äquivalenzen stiften könnte. Wir wollen zunächst diese Möglichkeit ausschließen, bevor wir uns der neuen Klasse von Konjugationen zuwenden.

Sind zwei Konjugationen τ, τ̃ auf L(H) äquivalent vermöge g: = (z ↦ cz′d), wobei c, d unitär sind, so existieren unitäre Operatoren a, b in L(H) derart, daß τ, τ̃ vermöge h: = (z ↦ azb) äquivalent sind.

Beweis. Nach Voraussetzung gilt τ̃(z) = ũz̄ṽ = gτg^{−1}(z) = cv′c′z̄d′u′d. Mit Lemma 1.2 erhalten wir ein μ^{2} ∈ C, |μ| = 1 derart, daß cv′c′ = μ^{2}ũ und μ^{2}d′u′d = ṽ gelten. Wie oben existiert ein e ∈ U(n) derart, daß u′ = e′ve gilt. Dann können wir ṽ schreiben als ṽ = μ^{2}d′e′ved = (μed)′v(μed) mit μed ∈ U(n). Ebenso gibt es ein f ∈ U(n) mit ũ = (μ̄fc)′u(μ̄fc). Wir setzen a: = cf, b: = ed und h(z): = azb, dann gilt hτh^{−1} = τ̃.

Wir erhalten also keine neuen Äquivalenzen aufgrund des neuen Automorphismus, sehrwohl aber eine neue Konjugation, die wir nun näher untersuchen wollen. Sie hat die Form τ(z) = uz^{∗}v, wobei u, v unitär sind. Wir verfahren weiter wie oben:

\begin{aligned}τ^{2}(z) = z & ⇒ vu^{∗}z = zu^{∗}v ∀z ∈ U \\ & ⇒ ∃λ^{2} ∈ C : vu^{∗} = λ^{2}11_{H} ⇒ v = λ^{2}u. \end{aligned}

Wir ersetzen u durch λu und sehen, daß τ von der Form τ(z) = uz^{∗}u ist. Sei τ̃(z): = vz^{∗}v eine zweite zu τ vermöge g äquivalente Konjugation. Wie oben können wir g(z): = czd schreiben, wobei c, d unitär sind. Dann gilt

vz^{∗}v = cudz^{∗}cud ⇒ (cud)^{∗}v = λ11_{H} ⇒ v = c̃ud mit c = λ̄c̃.

Also haben wir

τ ∼ τ̃ ⟺ cud = v für c, d ∈ U(n).

Sind umgekehrt u, v ∈ U(n) beliebig, so gilt u^{∗}uv = v, d.h. τ ∼ τ̃. Also bilden alle Konjugationen der Form τ(z) = uz^{∗}u eine vollständige Klasse, und diese ist zusammenhängend aufgrund derselben Argumentation wie oben, diesmal mit der Abbildung

U(n) → T ⊂ Aut_{s}(U) : u ⟼ (z ↦ uz^{∗}u).

Einen Vertreter davon beschreiben wir natürlich mit u = 11 ∈ U(n) und erhalten die selbstadjungierten Operatoren auf H.

U^{τ} = {z ∈ L(H) : z = z^{∗}} =: I_{n,n}^{C}.

2) Sei U = II_{n}. Die Argumentation hier ist sehr ähnlich wie in dem gerade ausführlich behandelten Fall, daher beschränken wir uns auf eine Kurzfassung des Beweises. Jede Konjugation auf U ist von der Form τ(z) = uz̄u′ mit u ∈ U(n).

z = τ^{2}(z) = uūzu^{∗}u′ ⇒ u′u^{∗}z = zu^{∗}u′ ∀z = −z′

⇒^{(1.2)} ∃ |λ| = 1 : u^{∗}u′ = u′u^{∗} = λ11

λ̄ = \overline{u′u^{∗}} = u^{∗}u′ = λ ⇒ λ ∈ \{±1\}

Wieder muß u = u′ oder u = −u′ gelten, und letzteres ist nur für gerade n möglich. Sei τ̃(z) = vz̄v′ eine zweite Konjugation, die zu τ vermöge g: = (z ↦ czc′) ∈ Imt(U) äquivalent ist. Dann erhalten wir

vz̄v′ = cuc′z̄cu′c′ ⇒^{(1.2)} (cuc′)^{∗}v = λ11 = (cuc′)′v̄, wobei |λ| = 1,

und ferner

λ̄ = \overline{(cuc′)′v̄} = (cuc′)^{∗}v = λ ⇒ λ ∈ \{±1\} ⇒ cuc′ = ±v.

Schließlich ergibt sich wegen vz̄v′ = (−v)z̄(−v)′ die Äquivalenz

τ ∼ τ̃ ⟺ ∃c ∈ U(n) : cuc′ = v.

Ist also u symmetrisch und τ äquivalent zu τ̃, so ist auch v symmetrisch, und wie im ersten Fall gilt die Umkehrung. Also bildet die Menge aller τ mit symmetrischem u eine vollständige Äquivalenzklasse, und diese ist zusammenhängend. Zur Darstellung der reellen Form wählen wir wieder u = 11 ∈ U(n) als einfachsten Vertreter, d.h. wir suchen U^{τ} = {z ∈ U : z = z̄}. Auch hier ist z ∈ U^{τ} auf die reelle Form X von H beschränkbar und dort eindeutig bestimmt. Wir erhalten

U^{τ} ≅ {x ∈ L(X) : x = −x′} =: II_{n}^{IR}.

Auch die Menge aller Konjugationen der Form τ(z) = uz̄u′ mit schiefsymmetrischem u ist eine vollständige und zusammenhängende Äquivalenzklasse, und notwendigerweise ist in diesem Fall n = 2p gerade. Wir machen H zu einem quaternionalen Hilbertraum P mit u = ij und suchen U^{τ} = {z ∈ L(H) : z = −z′ = −jz̄j}. Dies ist also die Menge aller schiefsymmetrischen IH-linearen Operatoren. Um zu einer schöneren Darstellung zu gelangen, wenden wir auf L(H) den Automorphismus z ↦ zj mit Inversem z ↦ −zj an. Dieser führt U^{τ} in ein isomorphes Untertripel V über. Jedes w ∈ V ist IH-linear, da z und j es sind. Die Bedingung z = −jz̄j wird zu w^{∗} = (zj)^{∗} = j^{∗}z^{∗} = −jz̄′ = jz̄ = zj = w und also erhalten wir die Darstellung

U^{τ} = {z ∈ L(H) : z = −z′ = −jz̄j} ≅ {w = w^{∗} ∈ L(P)} =: II_{2p}^{IH}.

3) Für U = III_{n} läßt sich der Beweis unter 2) mutatis mutandis abschreiben, was zu keinen neuen Einsichten führt. Daher lassen wir ihn aus.

4) Sei zuletzt U = IV_{n} = (H, ∥ · ∥, {xyx}: = 2(x y)x − (x x̄)ȳ). Für jede Konjugation τ ist die Abbildung z ↦ \overline{τ(z)} ein Automorphismus und hat daher die Form τ(z) = μg(z̄), wobei μ ∈ U(1) und g ∈ O(n) sind. Aus z = τ^{2}(z) = |μ|^{2}g^{2}(z) = g^{2}(z) folgt g^{2} = 11_{H}.

Sei τ̃(z): = νh(z̄) eine weitere zu τ vermöge u: = (z ↦ λk(z)) äquivalente Konjugation mit λ ∈ U(1), k ∈ O(n). Dann gilt

τ̃(z) = νh(z̄) = uτu^{−1}(z) = λ^{2}μkgk′(z̄).

Wir können daher h schreiben als h = \frac{λ^{2}μ}{ν}kgk′. Wegen g^{2} = 11 zerlegt g den Raum H in zwei orthogonale Teilräume H = E_{1}^{g} ⊕ E_{−1}^{g}, wobei E_{α}^{g} den Eigenraum von g zum Eigenwert α bezeichne. Es gilt H = k(H) = k(E_{1}^{g}) ⊕ k(E_{−1}^{g}) und ferner k(E_{α}^{g}) = E_{α}^{h} wie die Rechnung zeigt:

x ∈ k(E_{α}^{g}) ⇒ hx = kgk′x = kgk′ky = kgy = αky = αx.

Damit hat der α-Eigenraum von g dieselbe Dimension wie der α-Eigenraum von h für α ∈ {±1}.

Sei umgekehrt τ̃(z): = νh(z̄) mit h ∈ O(n) derart, daß die α-Eigenräume von g und h dieselbe Dimension haben (α ∈ {±1}). Die Eigenräume sind sie als reelle Hilberträume isomorph, und es existieren Isometrien k_{α} : E_{α}^{g} → E_{α}^{h} mit k_{α} = k′_{α}. Wir setzen k: =

( \begin{matrix}k_{1} & 0 \\ 0 & k_{−1} \end{matrix} ) : H → H und erhalten damit h = kgk′. Insgesamt also gilt:

τ ∼ τ̃ ⟺ dim_{IR}E_{α}^{g} = dim_{IR}E_{α}^{h} für α ∈ {±1}.

Um einen Vertreter der reellen Form zu finden, seien Kardinalzahlen r, s gegeben mit

r + s = n. Wir haben die Konjugation z ↦ z̄ auf H und setzen g: = ( \begin{matrix}11_{r} & 0 \\ 0 & −11_{s} \end{matrix} ).

Das liefert uns zwei Zerlegungen von H, nämlich bezüglich der reellen Form X und bezüglich der Eigenräume von g. Da g mit der Konjugation kommutiert gibt es sogar eine gemeinsame Verfeinerung

H = E_{1} ⊕ E_{−1} = (X_{1} ⊕ iX_{1}) ⊕ (X_{−1} ⊕ iX_{−1}) mit X_{α} := X ∩ E_{α}.

Damit schreiben wir jedes z ∈ U als z = x_{1} + iy_{1} + x_{2} + iy_{2} und berechnen g(z̄) zu g(z̄) = x_{1} − iy_{1} − x_{2} + iy_{2}. Es gilt

z = g(z̄) ⇔ y_{1} = x_{2} = 0 ⇔ z ∈ X_{1} ⊕ iX_{−1}.

Die reelle Form X besitzt die Zerlegung X_{1} ⊕ X_{−1} = X, und die Konjugation auf H induziert auf X_{1} ⊕ X_{−1} die Involution (x_{1}, x_{2}) ↦ (x_{1}, −x_{2}). Das Tripelprodukt auf der reellen Form schreibt sich damit offensichtlich wie in der Behauptung angegeben. Außerdem induziert die Spinfaktor-Norm ∥x∥^{2}: = (x|x) + \sqrt{(x|x)^{2} − |⟨x|x⟩|^{2}} von H die Summennorm auf E: = X_{1} ⊕^{1} X_{−1}. Denn für x = x_{1} + x_{2} ∈ X_{1} ⊕ X_{−1} gilt (x_{1}|x_{2}) = 0, und daher berechnet sich die Norm von x wie folgt

∥x∥^{2} = (x_{1}|x_{1}) + (x_{2}|x_{2}) + \sqrt{[(x_{1}|x_{1}) + (x_{2}|x_{2})]^{2} − |(x_{1}|x_{1}) − (x_{2}|x_{2})|^{2}}
= ∥x_{1}∥_{2}^{2} + ∥x_{2}∥_{2}^{2} + \sqrt{4∥x_{1}∥_{2}^{2}∥x_{2}∥_{2}^{2}}
= (∥x_{1}∥_{2} + ∥x_{2}∥_{2})^{2}.

Die in Bemerkung 4.4 behaupteten Isomorphien finden sich bei Loos (Abschnitt 17.11 in [32] bzw. 11.5 in [33]).

Ganz ähnliche Berechnungen, wie sie im vorangegengenen Beweis nötig waren, werden uns nun auch noch die Automorphismengruppen der reellen Cartanfaktoren liefern. Entscheidend dafür ist die Beobachtung, daß wir für einen reellen Cartanfaktor E = U^{τ} die Automorphismengruppe Aut(E) mit der Untergruppe {g ∈ Aut(U) : τgτ = g } von Aut(U) identifizieren können. Die Begründung dafür ist ein Spezialfall dessen, daß die gleiche Beziehung zwischen den zugehörigen Strukturgruppen (siehe Kapitel 6) auch gilt, und findet sich ausführlich in Satz 6.10. Somit kommen wir zum nächsten

4.6 Satz Sei E einer der reellen Cartanfaktoren (i) bis (viii) in der Notation von Satz 4.1. Die folgenden Abbildungen stellen eine offene Untergruppe G ⊆ Aut(E) vom Index ≤ 2 dar:

(i) x ↦ uxv mit u ∈ O(m), v ∈ O(n)
(ii) w ↦ uwv mit u ∈ Sp(q), v ∈ Sp(p)
(iii) z ↦ ±uzu^{∗} mit u ∈ U(n)
(iv),(vi) x ↦ ±uxu′ mit u ∈ O(n)
(v),(vii) w ↦ ±uwu^{∗} mit u ∈ Sp(p)
(viii) (x_{1}, x_{2}) ↦ (ux_{1}, vx_{2}) mit u ∈ O(r), v ∈ O(s).

Es gilt sogar G = Aut(E), außer in den folgenden Fällen, wo Aut(E) = G ∪ Gg gilt:

(i) für n = m > 1 mit g(x) = x′
(ii) für p = q mit g(w) = w^{∗}
(iii) für n > 1 mit g(z) = z′
(iv) für n = 4 mit g = θ auf {x ∈ IR^{4×4} : x′ = −x}, vergleiche (3.5)
(v) für p = 2 mit g(z) = z′ auf {z ∈ IH^{2×2} : z^{∗} = z}

(viii) für r = s mit g(x_{1}, x_{2}) = (x_{2}, x_{1}) wobei X_{1} und X_{2} identifiziert werden.

4.7 Korollar Für einen reellen nicht-exzeptionellen Cartanfaktor E hat die Banach-Liegruppe Aut(E) höchstens acht Zusammenhangskomponenten.

Beweis. Wie angedeutet bestimmen wir für jeden der acht reellen Cartanfaktoren E = U^{τ} die Gruppe Aut(E) = {g ∈ Aut(U) : τgτ = g} separat. Wir fassen also Aut(E) als Teilmenge von Aut(U) auf.

(i) Seien U = I_{n,m} und τ(z) = z̄ sowie g ∈ Aut(E). Dann ist g von der Form g(z) = uzv, wobei u, v unitär sind.

τgτ = g ⇔ \overline{uz̄v} = uzv  ∀z ∈ I_{n,m}

⇔ u^{∗}ūz = zvv′ ∀z ∈ I_{n,m}

⇒^{(1.2)} u^{∗}ū = η^{2}11_{m}, vv′ = η^{2}11_{n} für ein η ∈ C mit |η| = 1.

Wir ersetzen u durch ηu und v durch η̄v. Dadurch ändern wir g nicht aber erhalten nun u^{∗}ū = \overline{u′u} = 11_{m} und vv′ = 11_{n}, d.h. u ∈ O(n), v ∈ O(m). Das bedeutet also, daß G: = {x ↦ uxv : u ∈ O(m) v ∈ O(m)} alle diejenigen Elemente von Aut(E) sind, die sich zu einem Element in der Einskomponente Aut^{0}(U) fortsetzen lassen. Da Aut(U) höchstens zwei Komponenten hat, besitzt auch G den Index ≤ 2 in Aut(E). Für n ≠ m ist Aut(U) zusammenhängend und daher G = Aut(E). Für n = m > 1 ist g(x): = x′ ein weiterer Automorphismus und alle Elemente von Gg lassen sich genau in die zweite Komponente von Aut(U) fortsetzen.

(ii) Seien U = I_{2p,2q}, τ(z) = −jz̄j und g ∈ Aut(E). Wieder gilt g(z) = uzv, wobei u, v unitär sind.

τgτ = g ⇔ j\overline{ujz̄jv}j = uzv  ∀z ∈ I_{n,m}

⇔ u^{∗}jūjz = zvjv′j ∀z ∈ I_{n,m}

⇒^{(1.2)} u^{∗}jūj = −η^{2}11_{m}, vjv′j = −η^{2}11_{n} wobei |η| = 1.

Wir ersetzen u durch ηu und v durch η̄v. Dadurch ändern wir g wieder nicht aber erhalten nun die Gleichungen u^{∗}jūj = −11_{m} und vjv′j = −11_{n}, d.h. ūj = ju und vj = jv̄, also u ∈ Sp(q), v ∈ Sp(p). Dann enthält G: = {w ↦ uwv : u ∈ Sp(q) v ∈ Sp(p)} alle diejenigen Elemente von Aut(E), die sich zu einem Element in der Einskomponente Aut^{0}(U) fortsetzen lassen, und hat daher den Index ≤ 2 in Aut(E). Für p ≠ q ist Aut(U) zusammenhängend und daher G = Aut(E). Im Fall q = p ist der Automorphismus g: = (z ↦ −jz′j) nicht in Aut^{0}(U) und kommutiert mit τ wegen gτ(z) = −jz^{∗}j = τg(z). Daher ist g in Aut(E)\G und wirkt auf ein w ∈ E als g(w) = −jw′j = −j^{2}w^{∗} = w^{∗}.

(iii) Seien U = I_{n,n} und τ(z) = z^{∗} sowie g ∈ Aut(E). Wie oben ist g(z) = uzv, wobei u, v unitär sind.

τgτ = g ⇔ (uz^{∗}v)^{∗} = uzv  ∀z ∈ I_{n,n}

⇔ u^{∗}v^{∗}z = zvu ∀z ∈ I_{n,n}

⇒^{(1.2)} (uv)^{∗} = vu = η11 mit η ∈ {±1}

⇒ v = ±u^{∗}.

Also hat G: = {z ↦ ±uzu^{∗} : u ∈ U(n)} ⊆ Aut(E) den Index ≤ 2. Im Fall n > 1 gibt es mit g(z): = z′ einen weiteren Automorphismus, der nicht in G ist und mit τ kommutiert. Wir erhalten Aut(E) = G ∪ Gg.

(iv)Seien U = II_{n}, τ(z) = z̄ und g ∈ Aut(E). Dann ist g von der Form g(z) = uzu′, wobei u unitär ist.

τgτ = g ⇔ \overline{u}zu^{∗} = uzu′  ∀z = −z′

⇔ u^{∗}ūz = zu′u ∀z = −z′

⇒^{(1.2)} u′u = η11 = u^{∗}ū = \overline{(u′u)} für η ∈ \{±1\}.

Aus η = 1 folgt u ∈ O(n), aus η = −1 folgt g(z) = −vzv′, mit v: = iu ∈ O(n). Aut(U) ist zusammenhängend für n ≠ 4, und daher gilt G: = {x ↦ ±uxu′ : u ∈ O(n)} = Aut(E). Für n = 4 setzen wir g := θ ∈ Aut(U)\ Aut^{0}(U) wie in 3.5. Damit erhalten wir die andere Komponente Gg ⊂ Aut(II_{4}^{IR}).

(v) Seien U = II_{2p} und τ(z) = −jz̄j sowie g ∈ Aut(E). Dann ist g von der Form g(z) = uzu′, wobei u unitär ist.

τgτ = g ⇔ j\overline{(ujz̄ju′)}j = uzu′  ∀z = −z′

⇔ u^{∗}jūjz = zu′juj ∀z = −z′

⇒^{(1.2)} u′juj = η11 = u^{∗}jūj = \overline{u′juj} für η ∈ \{±1\}.

Falls nun η = −1 gilt, so folgt jū = uj, was u ∈ Sp(p) impliziert. Wir wenden den aus dem Beweis von Satz 4.1 bekannten Automorphismus z ↦ zj von L(H) an, um die Darstellung der Automorphismengruppe bezüglich II_{2p}^{IH} zu erhalten. Seien also z ∈ U^{τ} und w: = zj, dann hat g auf II_{2p}^{IH} die Form

g(w) = −(u(wj)u′)j = −uwū′j^{2} = uwu^{∗}.

Falls dagegen η = 1 gilt, so ist für v: = iu nun g(z) = −vzv′ in Aut(E). Aus v′jv′ = −11 folgt v ∈ Sp(p), was zur Darstellung g(w) = −uwu^{∗} führt. Für p ≠ 2 ist Aut(U) zusammenhängend und also gilt die Gleichheit G: = {w ↦ ±uwu^{∗} : u ∈ Sp(p)} = Aut(E). Für p = 2 induziert die Abildung θ ∈ Aut(U)\ Aut^{0}(U) auf II_{2p}^{IH} gerade die Abbildung g: = (w ↦ w′), daher gilt Aut(E) = g ∪ Gg.

(vi) und (vii) wiederholen nahezu identisch die Berechnungen von (iv) und (v) und werden daher ausgelassen.

(viii) Seien U = IV_{n}, τ(z) = h(z̄) und h = ( \begin{matrix}11_{r} & 0 \\ 0 & 11_{s} \end{matrix} ). Seien ferner g ∈ O(n) in

Aut(U) und |λ| = 1. Wir zerlegen g bezüglich der von h auf H induzierten Zerlegung in Eigenräume in die Operatormatrix g = ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{matrix} ). Nun rechnen wir

τλgτ = λg ⇔ h(\overline{λgh(z̄)}) = λg(z) ∀z ∈ H

⇔ λ̄gh = λhg

⇔ λ̄ ( \begin{matrix}g_{11} & −g_{12} \\ g_{21} & −g_{22} \end{matrix} ) = λ ( \begin{matrix}g_{11} & g_{12} \\ −g_{21} & −g_{22} \end{matrix} )

⇔ { g_{kk} = 0 und λ ∈ {±i} oder g_{kl} = 0 für k ≠ l und λ ∈ {±1}.

1) Im Fall r ≠ s muß g_{kk} ≠ 0 gelten. Daher ist dann notwendig g_{11} ∈ O(r) und g_{22} ∈ O(s), d.h. Aut(E) zerfällt in O(r) × O(s) ≅ G.

2) Im Fall r = s liefert g: = ( \begin{matrix}0 & 11_{r} \\ 11_{r} & 0 \end{matrix} ) einen weiteren Automorphismus und wir haben

Aut(E) = G ∪ Gg.

Zusammenfassung Reelle Cartanfaktoren sind reelle Formen von komplexen Cartanfaktoren. Dabei hat ein komplexer Cartanfaktor im allgemeinen mehrere nicht-isomorphe reelle Formen. Für alle komplexen Cartanfaktoren wurden die zugehörigen reellen Formen bis auf Tripelisomorphie bestimmt, indem die Äquivalenzklassen von Konjugationen bestimmt wurden. Zu jeder Isomorphieklasse von reellen Cartanfaktoren wurde eine konkrete Darstellung gegeben. Die Automorphismengruppe eines reellen JB*-Tripels E ist die Fixpunktmenge eines reell-analytischen Gruppenautomorphismus der Periode 2 auf der Automorphismengruppe der Hermitifizierung E^{C}. Für alle reelle Cartanfaktoren wurde die Automorphismengruppe konkret angegeben.

5. Invarianten und Isometrien

Im vorangegangenen Kapitel hatten wir reelle JB^{∗}-Tripel aus algebraischer Sicht betrachtet und Isomorphie stets als Tripelisomorphie aufgefaßt. In diesem Kapitel soll nun die Banachraumstruktur im Vordergrund stehen, also die Frage, wann zwei reelle JB^{∗}-Tripel isometrisch isomorph sind. Wir suchen surjektive IR-lineare Isometrien. Den Hintergrund für diese Frage bildet die in Kapitel 2 erwähnte Tatsache, daß für komplexe JB^{∗}-Tripel die surjektiven C-linearen Isometrien genau die Tripelisomorphismen sind. Das bietet den Vorteil, daß Isometrien in einem rein algebraischen Kontext behandelt werden können. Nachdem wir gerade reelle Cartanfaktoren bis auf Tripelisomorphie klassifiziert haben, stellt sich die Frage, ob auch für sie dieser schöne Sachverhalt aus dem Komplexen gilt. Daß wir dies im allgemeinen nicht erwarten dürfen, zeigt das Hauptresultat in [22]:

5.1 Satz [ Theorem 4.8 in [22]] Eine bijektive lineare Abbildung λ zwischen reellen JB^{∗}-Tripeln ist genau dann eine Isometrie, wenn sie dritte Potenzen respektiert, d.h. λ(x^{3}): = λ({xxx}) = (λx)^{3} gilt.

Jeder Tripelhomomorphismus respektiert natürlich dritte Potenzen, doch umgekehrt ist nicht jede reell-lineare Abbildung, die dritte Potenzen respektiert, ein Tripelhomomorphismus. Es gibt also im allgemeinen mehr Isometrien als Tripelisomorphismen. Das folgende Beispiel macht dies sogar anhand eines Cartanfaktors deutlich:

5.2 Beispiel Für W: = I_{2,4}^{IH} ≅ L(IH, IH^{2}) ≅ IH^{2} ist der zugrundeliegende Banachraum sogar ein Hilbertraum der reellen Dimension 8 und hat damit als Isometriengruppe Imt(W) ≅ O(8) mit reeller Dimension 28. Dagegen hat Aut(W) ≅ (Sp(1) × Sp(2))/ O(1) die Dimension 3 + 10 = 13.

Andererseits ist bekannt, daß für jede JB-Algebra und für jede reelle C^{∗}-Algebra die surjektiven Isometrien genau die algebraischen Automorphismen der unterliegenden Tripelstruktur sind. Wir werden sehen, daß dies mit einer Einschränkung auch für reelle Cartanfaktoren gilt. Diese Einschränkung erhalten wir aus dem folgenden Resultat [8]:

5.3 Satz Seien U, V komplexe Cartanfaktoren vom Rang > 1. Dann ist jede surjektive IR-lineare Isometrie von U nach V semi-linear und daher ein Tripelisomorphismus. Insbesondere gilt Imt(U_{IR}) = Aut_{s}(U) falls r(U) > 1.

Dies kann aber offensichtlich für einen komplexen Hilbertraum U der Dimension n > 1 (d.h. U ist ein Cartanfaktor vom Rang 1) nicht gelten. Denn U_{IR} ist ein reeller Hilbertraum und die Isometriengruppe Imt(U_{IR}) ≅ O(2n) hat die Dimension n(2n − 1). Dagegen ist die Automorphismengruppe von U ≅ I_{1,n} gerade (U(1) × U(n))/ U(1) und hat die Dimension (1 + n^{2}) − 1 = n^{2}.

Wir kümmern uns also zunächst um den Fall, daß der Rang eines reellen JB^{∗}- Tripels genau eins ist und wenden uns danach den anderen Fällen zu.

5.4 Lemma Sei E ein reelles JB^{∗}-Tripel. E hat genau dann Rang 1, wenn der E zugrundeliegende Banachraum ein Hilbertraum ist. Dies sind genau die folgenden reellen und als reelle aufgefaßte komplexen Cartanfaktoren:

I_{1,n}^{IR}, I_{2,2n}^{IH}, IV_{n}^{n,0}, V^{O}, I_{1,n}.

Beweis. Wie in Kapitel 3 bereits erwähnt, läßt sich jedes JB^{∗}-Tripel endlichen Ranges als Summe von Cartanfaktoren schreiben, wobei sich die Ränge der Summanden addieren. Die Hermitifizierung U von E hat den Rang ≤ 2. Daher kann also U eine Summe von zwei Cartanfaktoren vom Rang 1 oder ein Cartanfaktor vom Rang ≤ 2 sein. Nun untersuchen wir die Aufzählung in [33] und Satz 4.1. Damit erhalten wir das gewünschte Resultat.

Damit sind reelle JB^{∗}-Tripel vom Rang 1 genau dann isometrisch isomorph, wenn sie dieselbe reelle Dimension haben. Sie müssen also nicht als Tripel isomorph sein. So sind z.B. I_{1,8}^{IR} und I_{2,4}^{IH} beides achtdimensionale reelle Hilberträume, also isometrisch isomorph, aber nicht tripelisomorph (vgl. Korollar 4.5). Wir werden später sehen, daß die Rang-1-Cartanfaktoren genau die Ausnahmen darstellen, d.h. in allen anderen Fällen tatsächlich isometrische und Tripelisomorphie dasselbe sind.

Wir nehmen im folgenden stets an, daß die auftretenden Tripelsysteme Rang > 1 haben. Ihnen sollen Kardinalzahlen zugeordnet werden, die unter surjektiven linearen Isometrien erhalten bleiben. Und zwar wollen wir hinreichend viele Invarianten finden und für reelle Cartanfaktoren auch berechnen, um nachweisen zu können, daß zwischen nicht tripelisomorphen Cartanfaktoren vom Rang > 1 auch keine Isometrien bestehen können.

Seien zunächst E, F reelle oder komplexe JB^{∗}-Tripel. Offensichtlich ist die reelle Dimension d: = d(E): = dim_{IR}E eine solche Invariante. Wir setzen a: = a(E) als die Menge aller Kardinalzahlen (dim_{IR}E^{1}(e) − 2), wobei e ∈ E die Menge aller Tripotente vom Rang 2 durchläuft. Offensichtlich gilt a(E) = ∅ falls r(E) = 1. Daß a und r ebenfalls Invarianten sind, sagt das nächste

5.5 Lemma Sei λ: E → F eine surjektive lineare Isometrie. Dann gilt:

(i) λ(x^{3}) = (λx)^{3}, insbesondere folgt aus x ⊥ y auch λx ⊥ λy. (ii) Für jedes Tripotent e ∈ E werden die Räume E^{1}(e), E^{−1} ⊕ E_{1/2}(e) und E_{0}(e) auf

die entsprechenden Räume bezüglich λ(e) ∈ F abgebildet.

Beweis. Das oben bereits erwähnte Theorem 4.8 in [22] liefert die erste Behauptung und Proposition 3.8 dort auch die Orthogonalitätsbehauptung. Der zweite Punkt ist die Aussage von Korollar 4.10 derselben Arbeit.

Seien nun stets E, F reelle oder komplexe Cartanfaktoren. Dann läßt sich sogar eine Verschärfung von Lemma 5.5 erreichen. Dazu benötigen wir den folgenden

5.6 Hilfssatz Für jedes nicht-vollständige Tripotent e ∈ E gilt E_{0}(e)^{⊥} = E_{1}(e).

Beweis. Wir können e ≠ 0 annehmen und ferner, daß E ein komplexes JB^{∗}-Tripel ist. Falls nicht, gehen wir zur Hermitifizierung über. Wir setzen F: = E_{0}(e)^{⊥}. Dann ist F ein abgeschlossenes Untertripel von E mit e ∈ E_{1}(e) ⊂ F. Es gilt aber

F = F ∩ (E_{1} ⊕ E_{1/2} ⊕ E_{0}) = E_{1} ⊕ F_{1/2},

da wir F ∩ E_{0} = 0 und F ∩ E_{1/2} = F_{1/2} haben. (Alle Pierceräume sind bezüglich des gewählten Tripotents e gemeint.) Sei nun z ∈ F_{1/2}. Wir wollen zeigen, daß z = 0 gelten muß. Sei zunächst E = L(H, K). Dann zerlegen die Projektionen e^{∗}e und ee^{∗} die Räume H, K in H = H_{1} ⊕ H_{2}, K = K_{1} ⊕ K_{2}, und e, z schreiben sich als Operatormatrizen

e = ( \begin{matrix}u & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , z = ( \begin{matrix}0 & a \\ b & 0 \end{matrix} )

mit u ∈ Imt(H_{1}, K_{1}), a ∈ L(H_{2}, K_{1}) und b ∈ L(H_{1}, K_{2}) (vgl. Kapitel 2). Nach Wahl

von z ∈ E_{0}^{⊥} gilt e z = 0, das heißt \{ezy\} = 0 für alle y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ) mit x ∈ L(H_{2}, K_{2}).

Wir berechnen {ezy} zu

\begin{aligned}2\{ezy\} & = ( \begin{matrix}u & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & b^{∗} \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & b^{∗} \\ a^{∗} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}u & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) \\ & = ( \begin{matrix}0 & ub^{∗}x \\ xa^{∗}u & 0 \end{matrix} ) . \end{aligned}

Daraus ergeben sich also die Bedingungen xa^{∗}u = 0, ub^{∗}x = 0. Nach Voraussetzung ist e nicht vollständig, was H_{2} ≠ 0 ≠ K_{2} impliziert. Dies zieht aber notwendigerweise a = 0, b = 0 nach sich, was wie gewünscht z = 0 bedeutet.

Im Fall E = {z ∈ L(H) : z = −z′} zerlegen wir H wie oben bezüglich e^{∗}e in

H = H_{1} ⊕ H_{2} und schreiben z ∈ F_{1/2} als z = ( \begin{matrix}0 & a \\ −a′ & 0 \end{matrix} ) mit a ∈ L(H_{2}, H_{1}). Diesmal

gilt \{ezy\} = 0 für alle y = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ) mit x = −x′ ∈ L(H_{2}), was zu xa^{∗}u = 0, −ua^{∗}x = 0

führt. Da u invertierbar ist, muß also xa^{∗} = 0 gelten für alle x = −x′ ∈ L(H_{2}). Dies impliziert zusammen mit Lemma 1.2 wieder a = 0 und damit z = 0. Der Fall E = {z ∈ L(H) : z = z′} geht völlig analog. Auch der exzeptionelle Faktor VI läßt sich so behandeln. Die Cartanfaktoren IV und V haben den Rang 2, und e ist ein minimales Tripotent. Dafür wurde die Behauptung jedoch in Lemma 2.1 in [8] gezeigt.

Wir kommen zur Verschärfung von Lemma 5.5.

5.7 Lemma Seien E, F reelle oder komplexe Cartanfaktoren vom Rang > 1, λ: E → F eine surjektive IR-lineare Isometrie und e ∈ E ein Tripotent. Dann bildet λ auch die Räume E^{−1}(e) und E_{1}(e) auf die entsprechenden Räume bezüglich λ(e) ∈ F ab.

Beweis. Wegen Lemma 5.5 gilt λ(E_{0}(e)) = F_{0}(λe). Ist e nicht vollständig, so erhalten wir aus Lemma 5.6 auch E_{0}(e)^{⊥} = E_{1}(e). Da λ nach 5.5 die Orthogonalitätsbeziehung respektiert, gilt

F_{1}(λe) = F_{0}(λe)^{⊥} = (λ(E_{0}(e))^{⊥} = λ(E_{1}(e)).

Da wir aber E_{1} als E_{1} = E^{1} ⊕ E^{−1} schreiben können und λ den Raum E^{1} respektiert, muß auch λ(E^{−1}(e)) = F^{−1}(λe) gelten. Sei nun e vollständig. Dann läßt sich e zerlegen in eine Summe von Tripotenten e = e_{1} + e_{2} mit e_{1} ⊥ e_{2}, da r(E) > 1 vorausgesetzt war. Dabei sind die e_{i}, i ∈ {1, 2} nicht vollständig, also werden die Räume E_{1}(e_{i}), E^{−1}(e_{i}) von λ respektiert. Nun gilt aber (vgl. Kapitel 2)

E^{−1}(e) = E^{−1}(e_{1}) ⊕ E^{−1}(e_{2}) ⊕ ⋂_{i=1,2} (E^{−1}(e_{i}) ⊕ E_{1/2}(e_{i})) .

Alle auf der rechten Seite der Gleichung auftretenden Räume werden respektiert, also auch E^{−1}(e) und damit auch E_{1}(e) = E^{1}(e) ⊕ E^{−1}(e).

Mit diesen Ergebnissen wollen wir nun eine weitere isometrische Invariante für reelle Cartanfaktoren bekommen. Seien E ein reeller Cartanfaktor mit r(E) > 1 und e ∈ E ein minimales Tripotent. Dann ist e nicht vollständig, und also ist dim_{IR}E_{1}(e) nach Lemma 5.7 eine Invariante. Gilt aber r(E) = 1, so ist e vollständig, also E_{0}(e) = 0. Daher haben wir E_{0}(e)^{⊥} = E, und dim_{IR}E ist sowieso eine Invariante. Wenn wir nachweisen können, daß dim_{IR}(E_{0}(e)^{⊥}) nicht von dem gewählten minimalen Tripotent abhängt, so haben wir mit z: = z(E): = dim_{IR}(E_{0}(e)^{⊥}) für ein minimales Tripotent e eine weitere isometrische Invariante. Daß die Definition tatsächlich unabhängig von der Wahl ist, sagt insbesondere das nächste Lemma. Doch es steht in einem viel größeren Zusammenhang.

Für jede orthogonale Familie (e_{i})_{i∈I} minimaler Tripotente des Cartanfaktors E ist die schwach-*-konvergente Summe e = ∑_{i∈I} e_{i} ein Tripotent. Wir nennen (e_{i})_{i∈I} einen Frame in E, falls e maximal ist. (D.h. e ist vollständig, und es gilt dim_{IR}E_{1/2}(e) ≤ dim_{IR}E_{1/2}(f) für jedes vollständige Tripotent f, vgl. Kapitel 2.)

5.8 Lemma Sei E ein reeller oder komplexer Cartanfaktor. Dann gilt

(i) Jede endliche orthogonale Familie minimaler Tripotente kann zu einem Frame erweitert werden.

(ii) Die Kardinalität jedes Frames ist genau der Rang von E.

(iii) Für je zwei Frames (e_{i})_{i∈I} und (f_{i})_{i∈I} gibt es einen Automorphismus g ∈ Aut(E) derart, daß g(e_{i}) = ε_{i}f_{i} mit ε ∈ {±1} für alle i ∈ I gilt.

Beweis. Die Behauptung ist wiederum eine Verallgemeinerung eines für endliche Dimension bereits bekannten Ergebnisses von Loos (Propositionen 5.2 und 5.3 in [33]). Wir betrachten also nur den unendlichdimensionalen Fall. Dabei ist der Fall des Spinfaktors besonders einfach, da dieser den Rang 2 hat. Seien E ein komplexer Spinfaktor und e ∈ E ein minimales Tripotent. Dann ist auch ē ein minimales Tripotent, für das außerdem e ⊥ ē gilt. Nun ist f: = e + ē linear abhängig von f̄ und damit ein unitäres Tripotent, insbesondere maximal. Jeder Frame muß also aus genau zwei minimalen Tripotenten bestehen. Für die Behauptung (iii) genügt es, dim E = 2 anzunehmen. Dann ist jeder Frame nach Skalierung eine Orthonormalbasis. Wir finden also eine unitäre Transformation des einen Frames auf den anderen. Doch es läßt sich leicht nachrechnen, daß diese Transformation auch konjugationsinvariant ist und daher orthogonal, d.h. ein Automorphismus von E. (Für die Eigenschaften der Tripotente in IV_{n} vergleiche Kapitel 3.) Für reelle Spinfaktoren gelten dieselben Eigenschaften der Tripotente, daher funktioniert der Beweis ebenso. Es bleiben also die Cartanfaktoren vom Typ I, II und III übrig. Dazu seien nun H, K IF-Hilberträume mit n: = dim_{IF}H ≤ m: = dim_{IF}K. Im Fall n = m dürfen wir H = K annehmen, und im Fall IF = C sind H, K mit Konjugationen versehen.

1. Schritt Seien zunächst E = L(H, K) und e ∈ E ein minimales Tripotent. Wir zerlegen H, K wieder bezüglich der Projektionen e^{∗}e, ee^{∗} in H = H_{1} ⊕ H_{2}, K = K_{1} ⊕ K_{2}. Dann induziert e eine Isometrie von H_{1} auf K_{1}, und der Pierce-1-Raum E_{1}(e) kann mit L(H_{1}, K_{1}) identifiziert werden. Da e als minimal angenommen war, d.h. r(E_{1}(e)) = 1 gilt, muß auch dim_{IF}H_{1} = dim_{IF}K_{1} = 1 gelten. Wir können also Einheitsvektoren h ∈ H, k ∈ K derart wählen, daß e^{∗}e(H) = IFh, ee^{∗}(K) = IFk und e(h) = k gelten. (e ist eine partielle Isometrie, vgl. Kapitel 3.) Zu einer orthogonalen Familie (e_{i})_{i∈I} minimaler Tripotente erhalten wir somit für jedes i ∈ I Vektoren h_{i}, k_{i} mit denselben Eigenschaften.

1. Zwischenbehauptung Die Familien (h_{i})_{i∈I} und (k_{i})_{i∈I} sind orthonormal in H bzw. K. Beweis. Da für i ≠ j nach Voraussetzung e_{i} ⊥ e_{j} und damit {e_{i}e_{j}z} = 0 für alle z ∈ E gilt, erhalten wir die Gleichung e_{j}e_{i}^{∗}z = ze_{i}^{∗}e_{j} für alle z ∈ E. Damit muß e_{j}e_{i}^{∗} ein Vielfaches der Identität sein, hat aber endlichen Rang als Operator auf H, was e_{j}e_{i}^{∗} = 0 impliziert. Nun rechnen wir:

(h_{i} h_{j}) = (e_{i}^{∗}e_{i}h_{i} e_{j}^{∗}e_{j}h_{j}) = (e_{j}e_{i}^{∗}e_{i}h_{i} e_{j}h_{j})
= {(e_{i}h_{i} e_{i}h_{i}) = (k_{i} k_{i}) = 1 falls i = j (0 e_{j}h_{j}) = 0 falls i ≠ j.

2. Zwischenbehauptung Die Familie (e_{i})_{i∈I} ist genau dann ein Frame, wenn (h_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von H ist. Im Fall n = m ist dann auch (k_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von K. Beweis. Ist (e_{i})_{i∈I} ein Frame, so ist nach Definition das Tripotent e = ∑_{i∈I} e_{i} maximal. Seien H = H_{1} ⊕ H_{2}, K = K_{1} ⊕ K_{2} die Zerlegungen bezüglich e^{∗}e, ee^{∗}. Da e vollständig ist, muß 0 = E_{0}(e) = L(H_{2}, K_{2}) und somit H_{2} = 0 gelten. Doch nach Konstruktion ist H_{1} gerade der Aufspann von {h_{i} : i ∈ I}. Seien umgekehrt (h_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von H und e wie oben. Da H_{1} gerade von {h_{i} : i ∈ I} aufgespannt wird, ist nun H_{2} = 0, d.h. e ist vollständig. Für jedes vollständige Tripotent f ∈ E gilt aber K = f(H) ⊕ (f(H))^{⊥} =: K_{1} ⊕ K_{2} und dim E_{1/2}(f) = dim L(H_{1}, K_{2}). Daher ist e auch maximal.

Nun kommen wir zurück zur Behauptung des Lemmas. Da jedes Orthonormalsystem in H zu einer Orthonormalbasis erweitert werden kann und jede Orthonormalbasis genau die Kardinalität dim H hat, sind (i) und (ii) klar. Sind nun (h̃_{i}), (k̃_{i}) weitere Orthonormalsysteme in H, K bezüglich des Frames (ẽ_{i}), so existieren Isometrien u von H, v von K derart, daß u(h̃_{i}) = h_{i} und v(k_{i}) = k̃_{i} gelten für alle i ∈ I. Wir setzen g(z): = vzu. Dann gilt g ∈ Aut(E) und g(e_{i}) = ẽ_{i} für alle i ∈ I, denn wir haben

g(e_{i})(h̃_{j}) = ve_{i}(h_{j}) = \{{v(k_{i}) = k̃_{i} = ẽ_{i}(h̃_{i}) i = j \atop 0 = ẽ_{i}(h̃_{j}) i ≠ j.}

2. Schritt Sei nun E = {z ∈ L(H) : z^{∗} = εz}, wobei ε = ±1 ein Quadrat in IF sei. (D.h. insbesondere für IF = IR haben wir E als die Menge aller symmetrischen Operatoren auf H.) Jedes Tripotent in E ist offensichtlich auch ein Tripotent in L(H) und zerlegt H in H = H_{1} ⊕ H_{2}. Ist e ∈ E sogar ein minimales Tripotent in E, so ist notwendig dim_{IF}H_{1} = 1, und also ist e auch in L(H) minimal. Sind zwei minimale Tripotente e, f ∈ E orthogonal, so gilt {efz} = 0 bzw. ef^{∗}z = zf^{∗}e für alle z ∈ E. Dann muß aber bereits ef^{∗} = 0 gelten und somit e f = 0 auf L(H), d.h. e, f sind in L(H) orthogonal. Insgesamt ergibt sich, daß jeder Frame in E bereits ein Frame in L(H) ist. Für ein minimales Tripotent e ∈ E gilt dann e^{∗}e = ee^{∗} = ±e^{2}, was e^{∗}e(H) = ee^{∗}(H) impliziert. Wählen wir nun h, k wie im ersten Schritt, so dürfen wir k = th für ein |t| = 1 annehmen. Es gilt sogar noch genauer

{e = e^{∗} ⇒ t ∈ IR ⇒ t = ±1 ⇒ k = ±h \atop e = −e^{∗} ⇒ t ∈ iIR ⇒ t = ±i ⇒ k = ±ih.}

Insgesamt also ergibt sich k = ηh mit η ∈ {±1, ±i}. Nun verläuft alles wie im ersten Schritt des Beweises. Zu jedem Frame in E erhalten wir Orthonormalbasen (h_{i}), (k_{i}) von H mit der zusätzlichen Eigenschaft k_{i} = ηh_{i} für alle i ∈ I. Für einen weiteren Frame (ẽ_{i}) und die zugehörigen (h̃_{i}), (k̃_{i}) wie oben definieren wir eine Isometrie u von H, so daß u(k_{i}) = k̃_{i} gilt, und setzen g(z): = uzu^{∗}. Dann liefert die gleiche Rechnung wie im ersten Schritt das gewünschte Ergebnis.

3. Schritt Seien IF = C und E = {z ∈ L(H) : z = z′}. In diesem Fall läßt sich der Beweis des zweiten Schritts fast wörtlich kopieren, außer daß nun die Bedingungen k_{i} = t_{i}h̄_{i} mit t_{i} ∈ U(1) für einen Frame in E auftreten.

4. Schritt Seien IF ≠ IH, n gerade und E = {z ∈ L(H) : z = −z′}. Jedes minimale Tripotent e ∈ E ist natürlich auch ein Tripotent in U: = L(H), hat aber dort den Rang 2. Für die gewohnte Zerlegung H = H_{1} ⊕ H_{2} bezüglich e^{∗}e gilt, daß E_{1}(e) ≅ {w ∈ L(H_{1}) : w = −w′} den Rang 1 hat, also dim H_{1} = 2 gelten muß. Doch dann hat U_{1}(e) ≅ L(H_{1}) den Rang 2. Also existiert ein minimales Tripotent f ∈ L(H) derart, daß f ⊥ f′ und e = f − f′. Wir erhalten so zu jedem minimalen Tripotent in E zwei orthogonale minimale Tripotente in U. Ist (e_{i})_{i∈I} ein Frame in E, so ist die Vereinigung {f_{i}, f′_{i}}_{i∈I} ein Frame in U. Damit sind wir wieder im Beweis des ersten Schrittes angelangt.

Insbesondere sagt dieses Lemma also, daß die Gruppe Aut(E) transitiv auf der Menge aller minimalen Tripotente in E wirkt modulo Vorzeichen. Da jedoch die Abbildung x ↦ −x stets ein Automorphismus ist, wirkt Aut(E) tatsächlich transitiv auf dieser Menge. Somit ist die obige Definition z: = z(E): = dim_{IR}(E_{0}(e)^{⊥}) für ein minimales Tripotent e ∈ E unabhängig von der Wahl desselben.

Die Werte der vier bisher definierten Invarianten für reelle und komplexe Cartanfaktoren vom Rang > 1 sind in der TABELLE 1 zusammengestellt (vgl. TABLE 1 in [30]). Wir wollen einige der Berechnungen exemplarisch ausführen, dabei sind Rechenregeln für Kardinalzahlen erforderlich.

Beginnen wir mit der letzten Spalte mit z(E) = dim_{IR}(E_{0}(e)^{⊥}) = dim_{IR}(E_{1}(e)), da nach Voraussetzung der Rang von E größer als eins ist. In allen Fällen gilt E_{1}(e) = IFe, da e minimal ist. Dies liefert alle Werte, wenn man bedenkt, daß für E = II_{2p}^{IH} der Pierceraum E_{1}(e) ≅ {z ∈ IH : z = z̄} die reelle Dimension eins hat, und für E = III_{2p}^{IH} der Pierceraum E_{1}(e) ≅ {z ∈ IH : z = −z̄} die reelle Dimension drei hat.

Die reelle Dimension d eines der Cartanfaktoren ist in endlicher Dimension leicht zu bestimmen. Im Falle der p × p-Matrizen über IH beispielsweise gibt es oberhalb der Diagonalen p(p − 1)/2 quaternionale Einträge und auf der Diagonalen p reelle Einträge, d.h. insgesamt eine reelle Dimension von 4p(p − 1)/2 + p = p + 2p(p − 1) = p(2p − 1). In beliebiger Dimension gelten ähnliche Überlegungen zusammen mit entsprechenden Regeln für Kardinalzahlen.

Sind X ein reeller Hilbertraum der Dimension n und (e_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von X, so ist z ↦ (z e_{i})e_{i} ein minimales Tripotent in L(X) für jedes i ∈ I. Für i ≠ j sind die so definierten Tripotente orthogonal. Die Summe aller solcher Tripotente ist die Identität auf X und daher ein maximales Tripotent, somit hat L(X) den Rang n. Daß die Spinfaktoren den Rang 2 haben, sahen wir bereits.

Für E = IV_{n}^{r,s} wollen wir nun auch noch a(E) berechnen. Sei e ∈ E ein Tripotent vom Rang 2. Dann sind wie im komplexen Fall (siehe Kapitel 3) e, ē linear abhängig und haben die Hilbertnorm eins. Wir haben die Zerlegung E = X_{1} ⊕ X_{−1}, dim_{IR}X_{1} = r, dim_{IR}X_{−1} = s. Die Bedingung e = tē, t = ±1 läßt für e = e_{1} + e_{2} nur die beiden Möglichkeiten e = e_{1} + 0 oder e = 0 + e_{2}. Sei z.B. e = e_{1} ∈ X_{r} ein Tripotent vom Rang 2. Wir berechnen E^{1}(e) = {x ∈ E : {exe} = x}. Offensichtlich gilt IRe ⊂ E^{1}(e). Sei x ∈ X_{s}, d.h. x = −x̄ und (e x) = 0. Dann gilt

{exe} = 2(e x)e − (e e)x̄ = 0 − x̄ = x, d.h. X_{s} ⊂ E^{1}(e).

Ist dagegen x ∈ E^{1} ∩ X_{r}, dann muß wegen e = ē, x = x̄ auch x = 2(e x)e − (e e)x

d  r  a  z
I{IR \atop n,m}  nm  n  \{1\}  1  m ≥ n ≥ 2
I{IH \atop 2p,2q}  4pq  p  \{4\}  4  q ≥ p ≥ 2
I{C \atop n,n}  nn  n  \{0, 2\}  1  n ≥ 2
II{IR \atop n}  n(n − 1)/2 [n/2]  \{2\}  1  n ≥ 4
II{IH \atop 2p}  p(2p − 1)  p  \{0, 4\}  1  p ≥ 2
III{IR \atop n}  n(n + 1)/2  n  \{0, 1\}  1  n ≥ 2
III{IH \atop 2p}  p(2p + 1)  p  \{4\}  3  p ≥ 2
IV{r,s \atop n}  n  2  \{r − 1, s − 1\} 1  n ≥ 3, r ≥ s ≥ 1
V^{O^{0}}  16  2  {3}  1
VI^{O^{0}}  27  3  {4}  1
VI^{O}  27  3  {0, 8}  1
I^{n,m}  2nm  n  {2}  2  m ≥ n ≥ 2
II^{n}  n(n − 1)  [n/2]  {4}  2  n ≥ 4
III^{n}  n(n + 1)  n  {1}  2  n ≥ 2
IV^{n}  2n  2  {n − 2}  2  n ≥ 3
V  32  2  {6}  2
VI  54  3  {8}  2

TABELLE 1: Isometrische Invarianten reeller und komplexer Cartanfaktoren vom Rang r > 1

gelten, was x ∈ IRe impliziert. Wir erhalten dim_{IR}E^{1}(e) = s+1, was s−1 ∈ a(E) liefert. Für e = e_{2} ∈ X_{s} ergibt eine analoge Rechnung r − 1 ∈ a(E) wie behauptet.

Aus der Betrachtung der Tabelle erhalten wir zusammen mit Lemma 5.4 den

5.9 Satz Es bezeichne CF die Klasse aller reellen und als reelle aufgefaßte komplexen Cartanfaktoren. Dann bilden die Invarianten d,r,a,z ein vollständiges System von Invarianten bezüglich isometrischer Äquivalenz. In anderen Worten: Zwischen zwei Tripeln in CF existiert genau dann eine surjektive IR-lineare Isometrie, wenn beide in allen vier Invarianten übereinstimmen. In der Teilklasse aller Tripel vom Rang > 1 ist isometrische Äquivalenz dasselbe wie Tripeläquivalenz.

5.10 Bemerkung Um ein vollständiges Invariantensystem bezüglich Tripeläquivalenz zu erhalten (d.h. insbesondere, um gleichdimensionale nicht-tripelisomorphe Cartanfaktoren vom Rang 1 mit Hilfe von Invarianten unterscheiden zu können), kann man z.B. r,a,z,b,h wählen. Dabei seien b(E): = dim_{IR}E^{−1}(e) und h(E): = dim_{IR}E_{1/2}(e) für ein minimales Tripotent e ∈ E. Eine surjektive Isometrie respektiert i.a. die Räume E^{−1}, E_{1/2} nicht einzeln sondern nur deren direkte Summe (Corollary 4.10 in [22]).

Mit diesem Satz haben wir zwar das erste Teilziel erreicht, nämlich die Klassifizierung reeller Cartanfaktoren bis auf isometrische Isomorphie. Unter den Cartanfaktoren vom Rang > 1 ist dies sogar dasselbe ist wie Tripelisomorphie. Dennoch bleibt die Frage offen, ob jede Isometrie tatsächlich das Tripelprodukt respektiert, d.h. ob Imt(E) = Aut(E) für alle reellen Cartanfaktoren gilt. Dieser Frage, die ja schon am Anfang des Kapitels stand, und die im Komplexen positiv beantwortet werden kann, wollen wir uns nun zuwenden. Dazu bezeichnen wir mit IS die Klasse aller reellen JB^{∗}-Tripel E, für die Imt(E) = Aut(E) gilt. Einige Klassen von Objekten in IS sind schon bekannt, wie z.B. alle JB-Algebren ([38] oder Theorem 1.9 in [23]), alle reellen C^{∗}-Algebren [7] und alle komplexen JB^{∗}-Tripel [8], d.h. die jeweils zugrundeliegende Tripelstruktur.

Allerdings sind nicht alle reellen Cartanfaktoren in der Klasse IS. Zuerst werden wir wieder unter denjenigen vom Rang 1 einige Ausnahmen vermuten.

5.11 Lemma Sei E ein reelles JB^{∗}-Tripel vom Rang 1. E ist genau dann in IS, wenn E^{−1}(e) = 0 oder E_{1/2}(e) = 0 für ein (und somit jedes) minimale Tripotent e ∈ E gilt. Dies sind genau die Cartanfaktoren

I_{1,n}^{IR}, IV_{n}^{n,0}, I_{2,2}^{IH} und C_{IR}.

Beweis. Nach Voraussetzung ist E ein Hilbertraum. Sei e ∈ E ein minimales Tripotent mit der Zerlegung E = E^{1} ⊕ E^{−1} ⊕ E_{1/2} ⊕ E_{0}. Wir wissen, daß jedes λ ∈ Imt(E) den Raum E^{−1} ⊕ E_{1/2} respektieren muß. Sind beide Summanden darin mindestens eindimensional, so finden wir in beiden je einen Einheitsvektor a ∈ E_{1/2}, b ∈ E^{−1}. Damit konstruieren wir eine Isometrie λ des Hilbertraums, die e festläßt und a auf b abbildet. Jeder Tripelautomorphismus von E respektiert aber die Räume E^{−1}, E_{1/2} separat, d.h. λ kann kein solcher sein. Jetzt gehen wir zur Liste in Lemma 5.4 und rechnen.

1.Fall E = I_{1,n}^{IR} ≅ Y, wobei Y ein reeller Hilbertraum der Dimension n mit Orthonormalbasis (e_{i})_{i∈I} und Tripelprodukt {xyx}: = (x y)x ist. Für jedes i ∈ I ist e_{i} ein minimales Tripotent mit der Zerlegung

E = E^{1} ⊕ E_{1/2} = IRe_{i} ⊕ (IRe_{i})^{⊥} d.h. E^{−1}(e_{i}) = 0.

Damit ist E = I_{1,n}^{IR} ein Kanditat für IS, und ein Blick auf die Automorphismengruppe in Satz 4.6 zeigt, daß E tatsächlich in IS ist.

Für E = I_{2,2n}^{IH} und ein minimales Triotent e ∈ E ist zunächst wieder E_{0}(e) = 0 und E_{1/2}(e) quaternional (n−1)-dimensional. Ferner gilt dim_{IR}E_{1}(e) = 4 und dim_{IR}E^{1}(e) = 1, d.h. dim_{IR}E^{−1}(e) = 3. Also kann für n > 1 dieser Faktor nicht in IS sein. Für E = I_{2,2}^{IH} ≅ IH sind jedoch sowohl Aut(E) als auch Imt(E) Liegruppen der Dimension 6 mit zwei Zusammenhangskomponenten. (Für Aut(E) siehe Satz 4.6, für Imt(E) vgl. Paragraph 3, Abschnitt 2 in [10].) Da Aut(E) ⊆ Imt(E) gilt, müssen beide Gruppen gleich sein.

In E = IV_{n}^{n,0} gilt nach Konstruktion x = x̄ für alle x ∈ E, insbesondere sind für jedes Tripotent e ∈ E dann e, ē linear abhängig, woraus (e e) = 1 folgt. Dies führt zu

{eex} = (e e)x + (x e)e − (e x)e = x + (x e)e − (x e)e = x,

d.h. E = E_{1}(e), und somit E_{1/2} = 0 = E^{−1}. Also ist auch E = IV_{n}^{n,0} ein Kandidat, und Lemma 5.14 wird zeigen, daß sogar jeder reelle Spinfaktor in IS ist.

Für E = I_{1,n} führen wir im wesentlichen dieselbe Rechnung durch wie für I_{2,2n}^{IH} mit dem Ergebnis dim_{IR}E^{−1}(e) = 1 und dim_{IR}E_{1/2} = 2(n − 1) für ein minimales Tripotent e. Nur für n = 1 kann daher E in IS sein. Es gilt I_{1,1} ≅ C_{IR} ≅ IV_{2}^{2,0}. Damit sind wir wieder bei Lemma 5.14.

Schließlich kommen wir zu E = V^{O}. Wieder gilt E_{0}(e) = 0 für ein minimales Tripotent e ∈ E. Damit berechnen wir dim_{IR}E_{1/2}(e) = 8 und dim_{IR}E_{−1}(e) = 7, was E aus IS ausschließt.

5.12 Lemma Seien E ein reelles JB^{∗}-Tripel vom Rang > 1 und e ∈ E ein minimales Tripotent. Dann ist jedes Element der Einheitskugel S: = {c ∈ E_{1}(e) : ∥c∥ = 1} des Pierce-1-Raumes E_{1}(e) ebenfalls ein minimales Tripotent, und e e = c c gilt für alle c ∈ S. Ferner gilt ⋂_{c∈S} E^{−1}(c) = 0.

Beweis. Wir betrachten TABELLE 1. Im Fall z(E) = 1 gilt E^{−1}(e) = 0 und daher S = {±e}. Damit sind alle Behauptungen erledigt. Im Fall z(E) = 2 haben wir einen komplexen Cartanfaktor vorliegen, und E_{1}(e) = Ce gilt. Dann existiert ein |t| = 1 derart, daß wir c schreiben können als c = te. Wir erhalten e e = c c und so auch die Minimalität von c. Wir haben ferner E^{−1}(c) ⊕ E^{1}(c) = E_{1}(c) = E_{1}(e). Doch da c nicht in E^{−1}(c) enthalten ist, gilt notwendig ⋂_{c∈S} E^{−1}(c) = 0. Seien nun E = I_{2p,2q}^{IH} und e ∈ E ein minimales Tripotent. Dann ist z(E) = 4, d.h. E_{1}(e) ≅ IH. Dann können wir c ∈ S schreiben als c = te mit t ∈ IH, |t| = 1.

2{ccz} = (te)(te)^{∗}z + z(te)^{∗}(te) = tt̄(ee^{∗}z + ze^{∗}e) = {eez} für alle z ∈ E.

Dies bedeutet gerade e e = c c, und die letzte Behauptung folgt wie oben. Der Fall E = III_{n}^{IH} geht analog.

5.13 Korollar Sei E ein reeller oder komplexer Cartanfaktor vom Rang > 1. Dann respektiert jede surjektive IR-lineare Isometrie λ: E → E den Pierce-1/2-Raum E_{1/2}(e) für jedes minimale Tripotent e ∈ E, d.h. λ(E_{1/2}(e)) = E_{1/2}(λe) gilt.

Beweis. Seien e ∈ E ein minimales Tripotent und λ ∈ Imt(E). Wegen Lemma 5.5 und 5.7 ist λ(e) ebenfalls ein minimales Tripotent, und aus c ∈ E_{1}(e) folgt λc ∈ E_{1}(λe). Setzen wir S wieder als die Einssphäre wie im Lemma oben, so erhalten wir hier nun E_{k}(e) = E_{k}(c) für alle c ∈ S und k = 1, 1/2. Zunächst schreiben wir

E_{1/2}(e) = E_{1/2}(c) = E_{1/2}(c) ⊕ ⋂_{c∈S} E^{−1}(c) = ⋂_{c∈S}(E_{1/2}(c) ⊕ E^{−1}(c)).

Dann wenden wir λ an und erhalten mit 5.5:

λ(E_{1/2}(e)) = ⋂_{c∈S} λ(E_{1/2}(c) ⊕ E^{−1}(c)) = ⋂_{c∈S}(E_{1/2}(λc) ⊕ E^{−1}(λc)) = E_{1/2}(λe).

Als eine Folgerung des Korollars sehen wir, daß surjektive Isometrien die Kollinearitätsbeziehung für minimale Tripotente respektieren:

c⊤e ⟹^{Def.} \{{e ∈ E_{1/2}(c) \atop c ∈ E_{1/2}(e)}\} ⟹^{5.13} \{{λe ∈ λ(E_{1/2}(c)) = E_{1/2}(λc) \atop λc ∈ λ(E_{1/2}(e)) = E_{1/2}(λe)}\} ⟹^{Def.} λc⊤λe.

Sind nun c, e, g sogar drei paarweise kollineare minimale Tripotente, so muß deren Tripelprodukt f: = {cge} verschwinden. Aufgrund der Multiplikationsregeln für Pierceräume nämlich liegt f in E_{1}(c) und in E_{1}(e). Ist f ≠ 0, so folgt aus Lemma 5.12 die Gleichheit e e = c c. Dies ist aber ein Widerspruch zur Kollinearität.

Nach dieser Vorarbeit können wir nun beginnen, weitere Vertreter in IS zu bestimmen.

5.14 Lemma Jeder reelle Spinfaktor ist in IS.

Beweis. Wir können jeden reellen Spinfaktor als E = IV_{n}^{r,s} wie in Satz 4.1 schreiben. Gilt s = 0, so ist E ein Hilbertraum, d.h. wir kennen die Gruppe Imt(E) = O(n). Doch die Automorphismengruppe von E wurde in Satz 4.6 ebenfalls zu Aut(E) = O(n) berechnet. Sei nun also s > 0. Der extremale Rand der Einheitskugel in E besteht dann aus zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich aus den beiden Einheitssphären von X_{1} und X_{−1}. Da surjektive Isometrien diesen extremalen Rand jedoch wieder in sich überführen, müssen sie bereits von der Form sein, wie in Satz 4.6 für Aut(E) angegeben.

Das folgende Lemma stellt eine Verallgemeinerung von Theorem 5.1 in [7] dar:

5.15 Lemma Seien H, K IF-Hilberträume der Dimension > 1 über IF. Dann ist E: = L(H, K) in IS.

Beweis. Für IF = C ist E ein komplexes JB^{∗}-Tripel und daher sowieso in IS. In den anderen Fällen leisten wir zunächst ein wenig Vorarbeit, die wir in den Beweisen der folgenden Lemmata ebenfalls verwenden werden. Für IF ∈ {IR, IH} wählen wir Orthonormalbasen (h_{β})_{β∈B} von H und (k_{α})_{α∈A} von K. Damit setzen wir e_{αβ} ∈ E als

e_{αβ}(h): = (h h_{β})k_{α} für alle h ∈ H.

Der adjungierte Operator zu e_{αβ} ist e_{αβ}^{∗}(k) = (k k_{α})h_{β}, denn für alle h ∈ H, k ∈ K gilt:

(e_{αβ}^{∗}(k) h) = (k e_{αβ}(h)) = (k (h h_{β})k_{α}) = (k k_{α})\overline{(h h_{β})} = ((k k_{α})h_{β} h).

Für alle α ∈ A, β ∈ B ist e_{αβ} ein Tripotent in E:

\begin{aligned}e_{αβ}e_{αβ}^{∗}e_{αβ}(h) & = e_{αβ}e_{αβ}^{∗}((h h_{β})k_{α}) = (h h_{β})e_{αβ}((k_{α} k_{α})h_{β})) \\ & = (h h_{β})(h_{β} h_{β})k_{α} = e_{αβ}(h) ∀h ∈ H. \end{aligned}

Für alle α ∈ A, β ∈ B ist e_{αβ} sogar ein minimales Tripotent in E, was wieder anhand einer Zerlegung von H, K bezüglich e_{αβ}^{∗}e_{αβ}, e_{αβ}e_{αβ}^{∗} deutlich wird. Es gilt stets E_{1}(e_{αβ}) ≅ IF, was für IF = IR alles klärt. Für IF = IH gilt nun E^{−1}(e_{αβ}) ≅ {z ∈ IH : z̄ = −z}, was die reelle Dimension 3 hat. Also ergibt sich dim_{IR}E^{1}(e_{αβ}) = 1, d.h. e_{αβ} ist minimal. Damit setzen wir E_{αβ}: = E_{1}(e_{αβ}). Wir stellen fest:

e_{αβ}e_{γδ}^{∗}e_{ζη}(h) = (h h_{η})(k_{ζ} k_{γ})(h_{δ} h_{β})k_{α} ≠ 0 ⟺ ζ = γ und δ = β.

Das impliziert, daß E_{αγ}E_{δγ}^{∗}E_{δβ} ⊂ E_{αβ} gilt, und alle anderen Produkte dieser Art mit anderen Indexkombinationen verschwinden. Wir setzen

R: = ⋃_{α,β} E_{αβ}

und definieren D als den IR-linearen Aufspann von R in E. Dann ist D ein Untertripel von E, das nicht notwendig normabgeschlossen in E ist. Aber D ist w^{∗}-dicht in E. Außerdem sind das Tripelprodukt in jeder Variablen einzeln und jede Isometrie λ ∈ Imt(E) w^{∗}-stetig. Somit genügt es, zu zeigen, daß jede Isometrie von E das Tripelprodukt auf D respektiert. Mit dieser Reduktion ist die Vorarbeit abgeschlossen.

Wir nehmen nun an, es gäbe ein λ ∈ Imt(E) und Einheitsvektoren a, b, c ∈ R derart, daß

(5.16)  λ{abc} ≠ {λa λb λc}  gilt.

Aufgrund von Lemma 5.12 sind a, b, c minimale Tripotente. Aus a⊥b folgt mit Lemma 5.5 auch λa⊥λb, was impliziert, daß beide Seiten von 5.16 verschwinden. Ebenso für b⊥c. Und sind a, b, c paarweise kollinear, so sind wegen Lemma 5.13 auch deren Bilder unter λ paarweise kollinear, und wieder verschwinden beide Seiten von 5.16. Diese Situationen können wir also ausschließen. Daher muß es orthogonale Tripotente e_{αβ}, e_{γδ} ∈ R geben, so daß a, b, c ∈ E_{1}(e) mit e = e_{αβ} + e_{γδ} . Aufgrund von Lemma 5.7 ist λ eine Isometrie von E_{1}(e) auf E_{1}(λe). Doch diese beiden Räume sind JB-Algebren (im Fall IF = IR sogar reelle Spinfaktoren), und daher wegen [7] (bzw. wegen Lemma 5.14) in IS. Die Einschränkung λ_{|E_{1}(e)} muß also ein Tripelhomomorphismus sein, was im Widerspruch zu 5.16 steht. Es folgt, daß jede Isometrie von E auch das Tripelprodukt respektiert, d.h. ein Automorphismus ist, also ist E in IS.

Zusammen mit den Ergebnissen von Satz 4.6 können wir die Aussage von Lemma 5.15 auch umformulieren zu

5.17 Lemma Seien H, K, X, Y Hilberträume über IF ∈ {IR, IH}. Im Falle IF = IH seien die Dimensionen von H, K größer als 1. Dann gilt für die auftretenden Isometriengruppen der Zusammenhang

Imt (L(H, K), L(X, Y)) = {z ↦ uzv : u ∈ Imt(K, Y), v ∈ Imt(X, H)}
∪ {z ↦ uz′v : u ∈ Imt(H, Y), v ∈ Imt(X, K)} .

5.18 Bemerkung Wie schon häufiger erwähnt, gilt Imt(H, K) = ∅, falls H ≅ K̸, d.h. eine oder beide Mengen auf der rechten Seite der Gleichung können leer sein. Außerdem ist im Fall IF = IH zu beachten, daß die Isometrien auf der linken Seite IR-linear sind, auf der rechten Seite dagegen IH-linear.

5.19 Lemma Das Tripel E = {z ∈ L(H) : z′ = −z} ist in IS für jeden reellen Hilbertraum H mit dim_{IR}H > 1.

Beweis. Seinen λ ∈ Imt(E) und {h_{α} : α ∈ A} eine Orthonormalbasis von H. Für α ≠ β definieren wir e_{αβ} ∈ E durch e_{αβ}(h): = (h hα)h_{β} − (h h_{β})h_{α} für alle h ∈ H. Eine leichte Modifikation der Berechnungen im Beweis von 5.15 ergibt, daß e_{αβ} ein minimales Tripotent in E ist und zwar für alle α ≠ β. Ebenso wie dort definieren wir E_{αβ}: = E_{1}(e_{αβ}) ≅ IRe_{αβ}. Es ist klar, daß e_{αβ} = −e_{βα} gilt, und diesmal zeigt die Rechnung

\begin{matrix}e_{αβ}e_{γδ}(h) = & (h h_{γ})(h_{δ} h_{α})h_{β} − (h h_{γ})(h_{δ} h_{β})h_{α} \\ − (h h_{δ})(h_{γ} h_{α})h_{β} + (h h_{δ})(h_{γ} h_{β})h_{α} ∈ Span\{h_{α}, h_{β}\}. \end{matrix}

Aus e_{αβ}e_{γδ} ≠ 0 folgt also, daß höchstens drei verschiedene Indices auftauchen, und {e_{αβ}e_{γδ}e_{ζη}} ≠ 0 impliziert, daß maximal vier verschiedene Indices beteiligt sind. Diesmal setzen wir auch wieder R als die Vereinigung aller E_{αβ} und D als den IR-linearen Aufspann von R in E. Wieder ist D w^{∗}-dicht in E, und also genügt es, zu zeigen, daß λ_{|D} das Tripelprodukt respektiert. Angenommen, es gäbe wieder Einheitsvektoren a, b, c ∈ R, für die 5.16 gilt. Die Bedingung {E_{αβ}E_{γδ}E_{ζη}} ≠ 0 erfordert, daß maximal vier verschiedene Indices auftauchen. Die Abbildung λ respektiert nach 5.5 diese Räume bzw. die Orthogonalitätsbeziehungen. Daher genügt es sogar, wenn wir die Behauptung für dim_{IR}H ≤ 4 zeigen. Es gelten die Isomorphien [33]

II_{2}^{IR} ≅ I_{1,1}^{IR}, II_{3}^{IR} ≅ I_{1,3}^{IR} und II_{4}^{IR} ≅ IV_{6}^{3,3}.

Alle diese Tripel sind jedoch in IS, daher können a, b, c wie in 5.16 nicht existieren, und folglich ist λ_{|D} ein Tripelisomorphismus.

5.20 Lemma Das Tripel E = {z ∈ L(H) : z = −z^{∗}} in IS für jeden quaternionalen Hilbertraum H.

Beweis. Für dim_{IH}H = 1 gilt E ≅ III_{2}^{IH} ≅ IV_{3}^{3,0}. Also folgt die Aussage aus Lemma 5.14. Daher sei im folgenden dim_{IH}H > 1. Seien λ ∈ Imt(E) und {h_{α} : α ∈ A} eine Orthonormalbasis von H. Wir definieren e_{α} ∈ L(H) durch e_{α}(h): = (h h_{α})h_{α} für alle h ∈ H. Dann ist zwar e_{α} nicht in E aber es ist ein minimales Tripotent in L(H). Für jedes r ∈ IH, r^{2} = −1 (insbesondere |r| = 1) ist aber re_{α} in E. Aufgrund von Lemma 5.12 ist re_{α} minimal in L(H) und daher erst recht in E. Wir erhalten die Pierceräume

E_{αα}: = E_{1}(re_{α}) = {se_{α} : s ∈ IH, s̄ = −s} = IHe_{α} ∩ E und
E_{αβ}: = E_{1/2}(re_{α}) ∩ E_{1/2}(re_{β}) für α ≠ β.

Diese Definitionen sind offenbar unabhängig von der Wahl von r ∈ IH, r^{2} = −1. (e_{α})_{α∈A} ist ein Frame in L(H), z ↦ iz ist ein Automorphismus von L(H), und daher ist (ie_{α})_{α∈A} ein Frame in E. Wir wollen nun durch geschickte Kombinationen von λ mit Automorphismen von E, die ja sowieso Isometrien sind, den Spielraum für λ immer weiter einengen, bzw. immer mehr Eigenschaften von λ festlegen. Wegen Lemma 5.5 und 5.7 führt λ jedes E_{αβ} in einen entsprechenden Pierceraum bezüglich eines anderen Frames über. Dann gibt es wegen Lemma 5.8 einen Automorphismus, der die beiden Frames ineinander überführt modulo Vorzeichen. Da die Pierceräume nicht vom Vorzeichen des Tripotents abhängen, dürfen wir λ(E_{αβ}) = E_{αβ} für alle α, β ∈ A annehmen.

Die Einschränkung von λ auf den reellen Hilbertraum E_{αα} ist orthogonal und hat daher die Determinante δ_{α} ∈ {±1}. Wir dürfen dabei annehmen, daß mindestens in einem Fall δ_{α} = 1 gilt, da wir andernfalls λ durch −λ ersetzen können. In jedem Raum E_{αα} bildet die Menge {ie_{α}, je_{α}, jie_{α}} ein Basis. Wir können für alle α ∈ A eine Isometrie λ̃_{α} ∈ Imt(E_{αα}) mit der Determinante 1 definieren vermöge

λ̃_{α} : λ(ie_{α}) ↦ ie_{α}, λ(je_{α}) ↦ je_{α}, λ(jie_{α}) ↦ δ_{α}jie_{α}.

1. Zwischenbehauptung Sei (g_{α})_{α∈A} eine Familie von Isometrien, wobei g_{α} ∈ Imt(E_{αα}) mit det g_{α} = 1 für alle α ∈ A. Dann existiert ein Automorphismus g ∈ Aut(E) derart, daß g_{|E_{αα}} = g_{α} gilt. Beweis. Für alle α ∈ A existiert ein r_{α} ∈ IH, |r_{α}| = 1 derart, daß g_{α}(z) = r_{α}zr̄_{α} gilt. (Kap. 7, 3 Abschnitt 2 in [10]) Damit setzen wir den Multiplikator v(h): = ∑_{α∈A} r_{α}(h h_{α})h_{α} auf H. Für v gilt vv^{∗} = v^{∗}v = 11, d.h. v ∈ Sp(H), und offensichtlich gilt für g(z): = vzv^{∗} die Behauptung. Damit dürfen wir für λ nun weiterhin folgendes annehmen:

λ(ie_{α}) = ie_{α}, λ(je_{α}) = je_{α} und λ(jie_{α}) = δ_{α}jie_{α}.

2. Zwischenbehauptung Für alle α, β ∈ A existiert ein ε_{αβ} ∈ {±1} derart, daß ε_{αβ}λ_{|E_{αβ}} = 11_{E_{αβ}} gilt. Insbesondere haben wir δ_{α} = 1 für alle α ∈ A. Beweis. Wir können uns auf die zweidimensionale Situation zurückziehen, d.h. wir haben A = {1, 2} und E ≅ {z ∈ IH^{2×2} : z^{∗} = −z} sowie δ_{1} = 1 und

re_{α} = ( \begin{matrix}r & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , re_{β} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & r \end{matrix} ) für r ∈ \{j, i, ji\}.

Wir setzen außerdem c: = ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) = ie_{α} + ie_{β}, ein Tripotent in E, das unter λ fest

bleibt. Dann bleibt aber auch wegen Lemma 5.7 der Pierceraum E^{−1}(c) invariant. Für diesen gilt:

E^{−1}(c) = E ∩ jC^{2×2} ≅ V: = {z ∈ C^{2×2} : z = z′} = III_{2}.

Wir berechnen nämlich:

cz^{∗}c = −z ⟺ iz^{∗}i = −z ⟺ iz = −zi ⟺ z ∈ jC^{2×2} ∩ E.

Und z ↦ jz liefert die Isomorphie V ≅ E^{−1}(c), da

(jz)^{∗} = z^{∗}j^{∗} = −z^{∗}j = −jz′ = −jz

gilt. Also induziert λ auf III_{2} eine surjektive IR-lineare Isometrie σ vermöge σ(x): = −jλ(jx) für alle x ∈ V. Nach [8] ist σ entweder komplex- oder konjugiert-linear. Da σ jedoch auf Ce_{1} komplex-linear ist, kann es nicht konjugiert-linear sein. Dann gilt δ_{2} = 1, denn δ_{2}jie_{2} = λ(jie_{2}) = jσ(ie_{2}) = −ijσ(e_{2}) = −ije_{2}. Damit ist λ auf beiden Pierceräumen E_{11}, E_{22} die Identität. Es bleibt die Frage, wohin λ Elemente der Form

( \begin{matrix}0 & w \\ −w^{∗} & 0 \end{matrix} ) abbildet. Dazu betrachten wir noch einmal die induzierte Abbildung σ.

Diese ist von der Form σ(z) = vzv′ mit v ∈ U(2) und ferner die Identität auf Ce_{α} für α ∈ {1, 2}. Damit ist v aber schon fast vollständig bestimmt. Wir erhalten

v ∈ \{±11, ± ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )\} was σ ( \begin{matrix}0 & x \\ x & 0 \end{matrix} ) = ± ( \begin{matrix}0 & x \\ x & 0 \end{matrix} )
bzw. λ ( \begin{matrix}0 & ij \\ −ji & 0 \end{matrix} ) = ± ( \begin{matrix}0 & ij \\ −ji & 0 \end{matrix} )

impliziert. Nun läßt sich aber jedes w ∈ IH, |w| = 1 schreiben als w = uj mit u ∈ IH, |u| = 1. Für jedes solche u ∈ IH erhalten wir

E^{−1}(c_{u}) = ( \begin{matrix}u & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) E^{−1}(c) ( \begin{matrix}ū & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) ≅ V  für  c_{u}: = ( \begin{matrix}ui\overline{u} & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) .

Wie oben folgt nun λ ( \begin{matrix}0 & uj \\ jū & 0 \end{matrix} ) = ± ( \begin{matrix}0 & uj \\ jū & 0 \end{matrix} ) ∈ E^{−1}(c_{u})∩E_{12}. Da dies für alle |u| = 1

gilt, ergibt sich die Behauptung.

3. Zwischenbehauptung Für alle α, β, γ ∈ A gilt ε_{αγ}ε_{γβ} = ε_{αβ}.

Beweis. Da ε_{ηη} = 1 für alle η ∈ A gilt, ist nur für den Fall α ≠ β ≠ γ ≠ α etwas zu zeigen. Es genügt also, n = 3 und A = {1, 2, 3} zu betrachten. Wir setzen c: = i(e_{1} + e_{2} + e_{3}) ∈ E und erhalten wie oben

E^{−1}(c) = jC^{3×3} ∩ E ≅ W: = {z ∈ C^{3×3} : z = z′} = III_{3}.

Die Gruppen Aut(W) = Imt(W) sind bekannt (vgl. Kapitel 3), und ähnliche Berechnungen wie oben liefern die Behauptung.

Nun setzen wir alles zum Rest des ursprünglichen Beweises zusammen. Seien also H ein beliebiger quaternionaler Hilbertraum und (h_{α})_{α∈A} eine Orthonormalbasis. Wir wählen ein γ ∈ A und definieren den Operator u ∈ L(H) als

u(h_{α}): = ε_{αγ}h_{α} für alle α ∈ A.

Dann gilt u ∈ Sp(H), und also definiert g: = (w ↦ uwu^{∗}) ein Element in Aut(E). Ferner stimmt g auf jedem E_{αβ} mit ε_{αγ}ε_{γβ}11_{E_{αβ}} = ε_{αβ}11_{E_{αβ}} aufgrund der zweiten Zwischenbehauptung überein. Wegen der ersten Zwischenbehauptung stimmen somit λ und g auf allen Räumen E_{αβ}, α, β ∈ A überein. Da beide Abbildungen w^{∗}-stetig und der IR-lineare Aufspann der E_{αβ} w^{∗}-dicht in E ist, muß sogar schon λ = g ∈ Aut(E) gelten.

5.21 Satz Seien E ein nicht-exzeptioneller reeller oder komplexer Cartanfaktor vom Rang > 1 und F ein reelles JBW^{∗}-Tripel. Eine bijektive lineare Abbildung λ: E → F ist genau dann eine Isometrie, wenn sie das Tripelprodukt respektiert.

Beweis. Sei λ ein Tripelisomorphismus. Dann respektiert λ insbesondere dritte Potenzen und ist daher isometrisch (Theorem 4.8. in [22]). Sei umgekehrt λ eine Isometrie. Nach Voraussetzung gilt F = U^{τ} für ein JBW^{∗}-Tripel U und eine Konjugation τ. Da λ die Orthogonalitätsbeziehung erhält (vgl. Lemma 5.5), kann U keine nichttrivialen τ-invarianten w^{∗}-abgeschlossenen Ideale enthalten, da E als Cartanfaktor keine nichttrivialen w^{∗}-abgeschlossenen Ideale enthält. Ferner ist für jedes minimale Tripotent e ∈ E das Bild λ(e) ∈ F ebenfalls ein minimales Tripotent (vgl. Lemma 5.5). Daher ist λ(e) ∈ U die Summe von höchstens zwei minimalen orthogonalen Tripotenten in U. Es ergeben sich zwei Möglichkeiten. Entweder ist U ein Cartanfaktor oder es existiert ein Cartanfaktor V derart, daß U = V ⊕ V gilt. Folglich ist F ein reeller oder ein als reeller aufgefaßter komplexer Cartanfaktor. Wegen Satz 5.9 gibt es einen Tripelisomorphismus von E nach F, d.h. wir dürfen E = F annehmen. Wir gehen TABELLE 1 durch und betrachen jeden der auftretenden Fälle. Dann folgt die Behauptung aus den eben gezeigten Lemmata sowie der bekannten Tatsache, daß jede JB-Algebra und jeder komplexe Cartanfaktor in IS sind. Dies deckt alle Möglichkeiten ab, daher muß λ ein Tripelautomorphismus sein.

5.22 Bemerkung Die Ergebnisse dieses Kapitels finden sich soweit nicht anders gekennzeichnet alle in [30]. Wir wollen hier kurz auf die Bedeutung dieses Satzes im Zusammenhang mit Theorem 4.8. in [22] und den entsprechenden Aussagen im komplexen Fall eingehen. Eine bijektive C-lineare Abbildung zwischen komplexen JB^{∗}-Tripeln ist genau dann eine Isometrie, wenn sie das Tripelprodukt respektiert. Das Tripelprodukt ist durch die dritten Potenzen eindeutig bestimmt. Also ist eine bijektive lineare Abbildung genau dann eine Isometrie, wenn sie dritte Potenzen respektiert. Die Begriffe fallen zusammen. Im Reellen jedoch unterscheiden sich die beiden Fälle. Eine bijektive IR-lineare Abbildung zwischen reellen JB*-Tripeln ist genau dann eine Isometrie, wenn sie dritte Potenzen erhält. Im allgemeinen ist also eine Isometrie nicht notwendig ein Tripelisomorphismus. Für nicht exzeptionelle reelle Cartanfaktoren vom Rang > 1 fallen die Begriffe nun aber wieder zusammen, jede Isometrie respektiert das Tripelprodukt. Das ist die Aussage von Satz 5.21.

Zusammenfassung Die Isometriengruppe eines reellen JB^{∗}-Tripels enthält im allgemeinen dessen Automorphismengruppe als echte Untergruppe. Um die Isometrien der reellen Cartanfaktoren zu bestimmen, wurde zunächst gezeigt, daß die Cartanfaktoren vom Rang 1 genau die Hilberträume sind. Deren Isometriengruppen sind die orthogonalen Gruppen. Dann wurden für die Klasse aller reellen oder als reelle aufgefaßten komplexen Cartanfaktoren ein vollständiges System von isometrischen Invarianten bestimmt und damit auch alle Cartanfaktoren bis auf isometrische Äquivalenz klassifiziert. Cartanfaktoren vom Rang > 1 sind genau dann isometrisch Äquivalent, wenn sie als Tripel isomorph sind. Schließlich konnte sogar gezeigt werden, daß jede surjektive lineare Isometrie eines Cartanfaktors vom Rang > 1 auf ein JBW*-Tripel sogar schon ein Tripelisomorphismus ist.