Cartan Faktoren, reelle Formen

und ihre Strukturgruppen

Diplomarbeit am mathematischen Institut der

Eberhard-Karls-Universität Tübingen Vorgelegt von Frithjof Lutscher aus Reutlingen

März 1997 Betreut von Prof. Dr. W. Kaup

Inhalt

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2. Komplexe JB^{∗}-Tripel und reelle Formen . . . . . . . 14 3. Komplexe Cartanfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Reelle Cartanfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. Invarianten und Isometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6. Strukturgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1. Einleitung

Aus heutiger Sicht stellen Cartanfaktoren eine bestimmte, wichtige Klasse von sogenannten JB^{∗}-Tripeln dar. Diese wiederum sind eine große Klasse von Banachräumen, auf denen ein dreiwertiges Produkt existiert, genaue Definitionen finden sich in Kapitel 2. Sie wurden eingeführt von Kaup [27] zur Idee und zum Beweis eines “Riemannschen Abbildungssatzes” für beschränkte symmetrische Gebiete in komplexen Banachräumen. Doch vom ursprünglichen Riemannschen Abbildungssatz bis dorthin war es ein langer Weg.

1851 bewies Riemann in seiner Dissertation den nach ihm benannten Satz, dessen heutige Formulierung lautet:

Jedes einfach zusammenhängende Gebiet in C, das nicht ganz C ist, ist biholomorph äquivalent zur offenen Einheitskreisscheibe.

Damit werden viele Fragen der Funktionentheorie reduziert auf das Studium holomorpher Funktionen auf dem Einheitskreis. Diese wiederum haben viele schöne Eigenschaften. So ist die Einheitskreisscheibe beispielsweise homogen bezüglich biholomorpher Automorphismen (d.h. zu je zwei Punkten gibt es einen Automorphismus, der den einen in den anderen überführt), und für holomorphe Abbildungen des Einheitskreises in sich gilt das Schwarzsche Lemma (was insbesondere besagt, daß dort jede nullpunkttreue Abbildung kontraktiv ist).

Die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher in C^{n} wurde entwickelt, und es konnte gezeigt werden, daß beispielsweise der Satz von Liouville und das Schwarzsche Lemma auch dort gelten. Dann stellte sich natürlich die Frage, ob auch eine Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes gelänge. Die einfach zusammenhängenden Gebiete in C^{n} sind jedoch nicht die richtigen Objekte. Die euklidische Einheitskugel des C^{2} und die Einheitskugel bezüglich der Supremumsnorm sind nämlich zwar reell-analytisch aber nicht biholomorph äquivalent. Dabei sind beide Gebiete nicht nur zusammenhängend sondern sogar zusammenziehbar. Es können also nicht nur die Zusammenhangseigenschaften eine Rolle spielen. Schließlich war es E. Cartan [6], der die richtige Verallgemeinerung fand und eine vollständige Klassifizierung erreichte.

Seien D ⊂ C^{n} (oder allgemeiner in einem komplexen Banachraum) ein Gebiet und a ∈ D ein Punkt. Eine holomorphe Abbildung s_{a}: D → D heißt eine Symmetrie von D um a, falls s_{a}^{2} = id_{D} gilt und a ein isolierter Fixpunkt von s_{a} ist. D heißt symmetrisch, wenn zu jedem Punkt des Gebiets eine Symmetrie um diesen Punkt existiert. Cartans Ergebnis besagt nun

Jedes beschränkte symmetrische Gebiet D ⊂ C^{n} läßt sich in ein endliches direktes Produkt irreduzibler symmetrischer Gebiete zerlegen. Jedes dieser irreduziblen Gebiete ist biholomorph äquivalent zur offenen Einheitskugel eines der endlichdimensionalen sechs (heute sogenannten) Cartanfaktoren.

Cartans Beweis stützt sich auf Methoden und Ergebnisse der Theorie von Lie-Algebren. Diese tragen für Gebiete in unendlichdimensionalen Banachräumen jedoch nicht mehr. Doch Koecher [34] fand einen neuen Zugang mithilfe einer anderen algebraischen Struktur, dem sogenannten Jordanschen Tripelsystem. Damit erreichte er einen neuen Beweis von Cartans Ergebnis. Von Loos wurde unter der Bezeichnung Jordan-Paar eine noch etwas allgemeinere Struktur eingeführt und der endlichdimensionale Fall der Klassifizierung solcher Gebiete vollständig behandelt [33].

Ein erster Schritt zur unendlichdimensionalen Theorie gelang Harris [16], als er zeigte, daß die offene Einheitskugel einer C*-Algebra homogen bezüglich biholomorpher Automorphismen ist. Er zeigte sogar etwas allgemeiner, daß dies für alle Unterräume A ⊆ L(H, K) gilt (H, K komplexe Hilberträume), falls für jedes a ∈ A auch aa^{∗}a ∈ A gilt. Derartige Räume nannte er J*-Algebren. In einer Reihe von Arbeiten erreichte Kaup schließlich die richtige algebraische und geometrische Struktur ,die sogenannten JB^{∗}-Tripel, und auch die oben bereits erwähnte Klassifikation [26], [27]:

Jedes beschränkte symmetrische Gebiet in einem komplexen Banachraum ist biholomorph äquivalent zur offenen Einheitskugel eines JB^{∗}-Tripel.

Jeder Cartanfaktor ist ein solches JB^{∗}-Tripel. Bis auf die zwei exzeptionellen Faktoren haben alle Cartanfaktoren eine natürliche Verallgemeinerung auf unendliche Dimension (vgl.Kapitel 3).

Das Schwarzsche Lemma und der Satz von Liouville gelten auch in beliebigen Banachräumen. Und ein komplexer Banachraum ist genau dann ein JB^{∗}-Tripel, wenn seine offene Einheitskugel homogen unter biholomorphen Automorphismen ist. Damit schließt sich der Kreis zu Riemanns Ergebnis.

Diese Darstellung ist keineswegs vollständig. Noch viele andere Klassen von Gebieten lassen sich algebraisch klassifizieren und charakterisieren. Doch wir wollen hier diesen Themenkreis verlassen und uns einem anderen Zugang zu JB^{∗}-Tripeln zuwenden. Dieser kommt aus der Funktionalanalysis und der Theorie der Operatoralgebren.

Ist H ein Hilbertraum, so ist die Menge aller beschränkten linearen Operatoren L(H) auf H eine komplexe assoziative Algebra mit vollständiger Norm, sowie einer konjugiert-linearen Algebra-Involution *, und es gilt ∥ab∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥ und ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} für alle a, b ∈ L(H). Die letzte Bedingung ist die sogenannte C*-Bedingung. Offensichtlich erfüllt auch jede *-invariante abgeschlossene Unteralgebra die genannten Eigenschaften. Algebren dieser Art, d.h. Unteralgebren von L(H) mit diesen Eigenschaften heißen C*-Algebren. Abstrakt definierte man B*-Algebren als beliebige komplexe assoziative Banach-Algebren mit Involution und den genannten Bedingungen an die Norm. Der berühmte Satz von Gelfand-Naimark besagt nun, daß jede B*-Algebra als eine *- invariante Unteralgebra eines L(H) realisiert werden kann. Einfacher ausgedrückt: Jede B*-Algebra ist eine C*-Algebra. Auf einer C*-Algebra spielen drei Strukturen zusammen, die algebraische, die geometrische und die ordnungstheoretische mit positivem Kegel. Dies bringt eine reiche Theorie hervor. In endlicher Dimension kann man allerdings zeigen, daß jede C*-Algebra ein direktes Produkt von vollen Matrixalgebren ist, es also nicht so viele C*-Algebren gibt.

Auf jeder C*-Algebra läßt sich ein neues nicht-assoziatives Produkt a ∘ b: = (ab + ba)/2 erklären, das sogenante Jordan-Produkt. Die so entstehende Algebra bzw. jede abgeschlossene *-invariante Unteralgebra bezüglich dieses Produkts heißt eine JC*- Algebra oder auch eine spezielle Jordan C*-Algebra. In endlicher Dimension sind nicht nur volle Matrixalgebren sondernbeispielsweise auch der Raum aller symmetrischen komplexen n × n-Matrizen eine JC*-Algebra. Wie für C*-Algebren gibt es auch zu den JC*-Algebren als abstrakt definiertes Analogon die JB*-Algebren. (B steht also immer für die abstrakte Definition, C für die Einbettung in einen Raum L(H).)

Eine JB*-Algebra ist eine komplexe Banach-Jordan-Algebra J (d.h. J ist ein Banachraum und das Produkt a∘b ist kommutativ, bilinear und erfüllt a^{2}∘(a∘b) = a∘(a^{2}∘b) für alle a, b ∈ J) zusammen mit einer konjugiert-linearen Algebra-Involution *, und es gilt ∥a ∘ b∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥ und ∥{aaa}∥ = ∥a∥^{3} für alle a, b ∈ J. Dabei ist das Jordansche Tripelprodukt {abc} definiert als

{abc}: = (a ∘ b^{∗}) ∘ c + (c ∘ b^{∗}) ∘ a − (a ∘ c) ∘ b^{∗}.

Auch für JB*-Algebren gibt es einen Darstellungssatz im Sinne von Gelfand-Naimark. Er besagt, daß ”fast” jede JB*-Algebra eine JC*-Algebra ist. Präziser formuliert [5]:

Unter den einfachen JB*-Algebren gibt es genau eine, die sich nicht als Jordan-Unteralgebra in einen Raum L(H) einbetten läßt.

Dies ist die exzeptionelle Jordan-Algebra H_{3}(O^{C}) der hermiteschen 3×3-Matrizen über den komplexen Cayley-Zahlen. Diese Algebra läßt sich nicht einmal algebraisch als Jordan-Unteralgebra irgendeiner assoziativen Algebra gewinnen. Wie in der Theorie der C*-Algebren spielen auch bei JB*-Algebren sowohl algebraische als auch geometrische und ordnungstheoretische Aspekte zusammen.

JB^{∗}-Tripelsysteme verallgemeinern nun diese beiden Strukturen. Diese Tripelsysteme sind Banachräume E mit einem dreiwertigen Produkt {…} als einer Abbildung E^{3} → E, die bestimmte Bedingungen erfüllt (Kapitel 2). Auf einer JB*-Algebra ist es genau das schon definierte Jordansche Tripelprodukt. Auf einer C*-Algebra definiert man {abc}: = (ab^{∗}c + cb^{∗}a)/2. Für eine JC*-Algebra stimmen diese beiden Definitionen überein.

Auf JB^{∗}-Tripeln gibt es zwar noch eine algebraische und eine geometrische Struktur aber keine Ordnungsstruktur mehr. Es gibt wieder eine Version des Satzes von Gelfand-Naimark, und natürlich ist zu erwarten, daß die exzeptionelle Jordan-Algebra eine besondere Rolle spielen wird. Er lautet [11]:

Jedes JB^{∗}-Tripel ist isomorph zu einem Untertripel von L(H)×C(S, H_{3}(O^{C})).

Dabei ist H ein komplexer Hilbertraum, S ein kompakter topologischer Raum und der zweite Faktor ist die JB*-Algebra aller stetigen Funktionen S → H_{3}(O^{C}) mit punktweise definierten Verknüpfungen und Supremumsnorm. Analog zu oben nennen wir ein JB^{∗}-Tripel auch ein JC*-Tripel, falls es in einen Raum L(H) einbettbar ist. Diese Teilklasse von Tripeln sind genau die von Harris eingeführten J*-Algebren.

Doch JB^{∗}-Tripel sind nicht nur eine Verallgemeinerung von C*-Algebren, sie tauchen auch beim Studium bestimmter Fragen über C*-Algebren auf. Dies ist beispielsweise der Fall bei der Frage, welche Struktur das Bild einer C*-Algebra unter einen kontraktiven Projektion besitzt. Sei dazu A eine C*-Algebra und P = P^{2} ∈ L(A) eine Projektion. Ist P vollständig positiv und unital, so ist P (A) eine C*-Algebra. Läßt man die Bedingung “vollständig” fallen, so ist P (A) nur noch eine JC*-Algebra. Wird von P nur noch gefordert, kontraktiv zu sein, d.h. ∥P ∥ = 1, so erhält P nicht mehr notwendig die Ordnungsstruktur. Das Bild P (A) ist ein JB^{∗}-Tripel. Es konnte sogar gezeigt werden, daß die Klasse der JB^{∗}-Tripel stabil unter kontraktiven Projektionen ist.

Einem physikalisch motivierten dritten Entwicklungsstrang der Theorie wollen wir uns zuletzt noch zuwenden. Dabei werden wir auch auf den Begriff der reellen Form stoßen. Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik enthalten das Axiom, daß die Menge aller Observablen eine Jordan-Algebra bildet, bzw. um Analysis betreiben zu können sogar eine JB-Algebra. Einen entscheidenden Schritt dieser Theorie taten Jordan, von Neumann und Wigner in den 30er Jahren dieses Jahrhunderts als sie alle endlichdimensionalen JB-Algebren (bzw. formal-reellen Jordanalgebren) klassifizierten. Eine JB-Algebra ist eine normierte reelle Jordanalgebra A, deren Norm vollständig ist und ∥a ∘ b∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥ sowie ∥a∥^{2} ≤ ∥a^{2} + b^{2}∥ für alle a, b ∈ A erfüllt. Es konnte gezeigt werden, daß die JB-Algebren genau die selbstadjungierten Teile der JB*- Algebren und somit beide Kategorien äquivalent sind. Das heißt für jede JB*-Algebra J ist der Fixraum der Involution {a ∈ J : a^{∗} = a} eine JB-Algebra, und für jede JB-Algebra A ist die Komplexifizierung B: = A ⊕ iA eine JB*-Algebra. Damit besteht auch zwischen JB-Algebren und JB^{∗}-Tripeln eine enge Verbindung, zumal später festgestellt wurde, daß es für die meisten physikalischen Anwendungen nicht auf das zweiwertige Jordanprodukt sondern auf das Tripelprodukt ankommt.

Auch für C*-Algebren gibt es reelle Analoga. Eine reelle C*-Algebra ist eine reelle normierte vollständige assoziative Algebra A mit einer Involution * (die die Identität sein darf), die ∥ab∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥ und ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} erfüllt und in der (1 + a^{∗}a) invertierbar ist für alle a ∈ A. Auch für reelle C*-Algebren gilt ein Satz von Gelfand-Naimark. Daraus folgt, daß reelle C*-Algebren genau reelle Formen von C*-Algebren sind, was bedeutet: Zu jeder reellen C*-Algebra A existiert eine komplexe C*-Algebra B und ein konjugiert-linearer *-Automorphismus auf B, der A als Fixraum hat.

Mit dieser Idee der reellen Formen machen wir einen Sprung zurück zum Anfang zu den beschränkten symmetrischen Gebieten D ⊆ C^{n}. Ist R eine reelle Form von C^{n}, d.h Fixpunktmenge einer Konjugation τ auf C^{n} und ist ferner D invariant unter τ, so heißt R∩D eine reelles beschränktes symmetrisches Gebiet. Diese Definition stammt von Loos, und er erreichte auch eine Klassifizierung aller dieser Gebiete durch die Klassifizierung aller reellen Cartanfaktoren. Das sind reelle Formen von komplexen Cartanfaktoren [33].

In der vorliegenden Arbeit wollen wir Loos Klassifikatikon auf beliebige Dimension verallgemeinern, d.h. alle reellen Cartanfaktoren bestimmen, deren Automorphismenund Isometriengruppen und insbesondere den Satz beweisen:

Eine bijektive lineare Abbildung zwischen reellen Cartanfaktoren vom Rang > 1 ist genau dann eine Isometrie, wenn sie ein algebraischer Automorphismus ist.

All das folgt der Arbeit von Kaup [30]. Im Anschluß daran soll ferner die Strukturgruppe eines Tripels eingeführt und für fast alle Cartanfaktoren erstmals berechnet werden.

Dazu gliedert sich die Arbeit wie folgt: Nachdem im Anschluß die notwendigen Bezeichnungen eingeführt und Ergebnisse bereitgestellt werden, finden sich in Kapitel 2 Definitionen und grundlegende Eigenschaften von JB^{∗}-Tripeln. In Kapitel 3 werden die Cartanfaktoren definiert und alle allgemeinen Ausführungen des Kapitels 2 an ihrem Beispiel mit Leben erfüllt. In Kapitel 4 wird die Klassifikation der reellen Cartanfaktoren erreicht, indem alle Konjugationen auf den klassischen Cartanfaktoren bestimmt werden. Außerdem werden die zugehörigen Automorphismengruppen berechnet. Kapitel 5 untersucht die surjektiven Isometrien zwischen reellen Cartanfaktoren und beschäftigt sich insbesondere mit deren Zusammenhang zu den algebraischen Isomorphien. Das letzte Kapitel ist ausschließlich der Strukturgruppe eines Tripels gewidmet. Diese wird eingeführt als eine Untergruppe aller bijektiven linearen stetigen Selbstabbildungen eines Tripels, die ihrerseits die Automorphismengruppe als reelle Form enthält. Dann wird sie für reelle und komplexe Cartanfaktoren berechnet.

Bezeichnungen und erste Ergebnisse

11_{S} Für eine beliebige Menge S bezeichne 11_{S} die identische Abbildung auf S. Existiert auf S eine Verknüpfung x♡y, so schreiben wir auch kurz x♡S: = {x♡y : y ∈ S}.

IK, IF Die komplexen Zahlen lassen sich eindeutig zerlegen in C = IR⊕iIR. IK bezeichne stets einen der beiden kommutativen Körper IR oder C. Die nichtkommutativen Quaternionen lassen sich auf vielfältige Weise zerlegen. Wir wählen ein festes j ∈ IH, j^{2} = −1, μj = jμ̄ für alle μ ∈ C und schreiben IH = C ⊕ jC. IF sei IR, C oder IH. Auf IF gibt es stets eine Involution α ↦ ᾱ. Auf IH ist dies gerade die Abbildung μ+jν ↦ μ̄−jν. Ferner bezeichnen O, O^{C} die achtdimensionale nicht assoziative Algebra der Cayley-Zahlen über IR bzw. C.

E, E_{IR}, \overline{E} Für (links-) Banachräume E, F über IF bezeichne E_{IR} den zugrundeliegenden reellen Banachraum. Mit \overline{E} meinen wir die konjugiertkomplexe Struktur eines C-Banachraumes E. Die beiden Räume sind dieselben als additive Gruppen, doch die Skalarmultiplikation auf \overline{E} ist durch μ · x: = μ̄x definiert für alle x ∈ E. Wird x ∈ E als ein Element von \overline{E} aufgefaßt, so schreiben wir x̄.

L(E, F), Imt(E, F) Die Menge aller stetigen IF-linearen Operatoren E → F schreiben wir als L(E, F). Sie ist in der Operatornorm ein Banachraum über dem Zentrum IK von IF. Dabei ist es wichtig, die E, F zugrundeliegenden Körper klar zu trennen, im allgemeinen gilt L(E, F) ≠ L(E_{IR}, F_{IR}). Im Zweifelsfall werden wir dies hervorheben. Die Menge aller surjektiven IF-linearen Isometrien heißt Imt(E, F) ⊂ L(E, F) und ist im allgemeinen leer.

Imt(E), GL(E) Die Menge L(E): = L(E, E) ist eine assoziative Algebra, die Imt(E) ⊂ GL(E) ⊂ L(E) als Untergruppen enthält. GL(E) ist die Menge aller stetigen bijektiven linearen Selbstabbildungen von E und bildet eine Banach-Liegruppe in der Operatortopologie. Für a ∈ L(E), b ∈ L(F) definieren wir beschränkte lineare Operatoren L_{b}: = (z ↦ zb) und R_{a}: = (z ↦ az) auf L(E, F), die wir auch Links- und Rechtsmultiplikation nennen.

E^{∗}, E_{∗} Der Dualraum von E ist E^{∗}: = L(E, IF). Ein abgeschlossner Unterraum B ⊂ E^{∗} heißt Prädual von E und wird mit E_{∗} bezeichnet, wenn B^{∗} isometrisch isomorph ist zu E unter der kanonischen Abbildung E × B → IF. Für einen Hilbertraum H gilt offensichtlich H = H^{∗} = H_{∗}. Ist der Prädual eindeutig, so wird die von ihm auf E erzeugte Topologie σ(E, E_{∗}) mit w^{∗} bezeichnet.

Konjugation Eine Konjugation auf einem komplexen Banachraum E ist eine konjugiert-lineare Isometrie τ der Periode 2 auf E. E^{τ}: = Fix(τ) ist ein reeller Banachraum mit E = E^{τ} ⊕ iE^{τ} . Der Raum E^{τ} heißt eine reelle Form von E und E die Komplexifizierung von E^{τ}. Zwei reelle Formen E^{τ} , F^{σ} heißen äquivalent, falls ein g ∈ Imt(E, F) existiert mit σ = gτg^{−1}. Zwei Konjugationen auf E heißen äquivalent, wenn die zugehörigen reellen Formen äquivalent sind.

Ist E ein reeller Banachraum und U = E ⊕iE seine Komplexifizierung, so läßt sich jeder IR-lineare Operator λ ∈ L(E) eindeutig zu einem C-linearen Operator λ̃ ∈ L(U) fortsetzen. Operatoren aus GL(E) werden nach GL(U) fortgesetzt. Umgekehrt läßt sich μ ∈ L(U) mit μ(E) ⊂ E beschränken zu μ̂ ∈ L(E). Wir betrachten L(U) als reellen Banachraum mit dem abgeschlossenen linearen Teilraum R: = {μ ∈ L(U) : μ(E) ⊂ E}. Die Abbildung R → L(E) : μ ↦ μ̂: = μ_{|E} ist linear, surjektiv und stetig. Aufgrund des Satzes von Banach ist sie auch offen und wegen der Eindeutigkeit der Fortsetzung auch injektiv. Daher sind die Einbettungen L(E) ↪ L(U) und GL(E) ↪ GL(U) topologisch, insbesondere sind die Konvergenzbegriffe dieselben, und die reellen Räume lassen sich als Teilmengen der komplexen auffassen.

semi-, sesquilinear Seinen U, V, W komplexe Banachräume. Eine stetige Abbildung λ: U → V heißt semilinear, wenn λ komplex-linear oder konjugiert-linear ist. Dies wird durch den Zusatz L_{s}(U, V) angedeutet. Unter einer sesquilinearen Abbildung λ: U × V → W verstehen wir stets eine im ersten Argument komplex-lineare, in zweiten konjugiert-lineare Abbildung. Des weiteren heißt eine Abbildung λ ∈ L(U) hermitesch, falls für alle t ∈ IR der Operator exp(itλ) ∈ GL(U) isometrisch ist. Die Menge aller hermiteschen Operatoren auf U bildet einen IRlinearen Teilraum H(U) mit H(U) ∩ iH(U) = 0.

Sind H, K Hilberträume über IF, so bezeichnen wir das Skalarprodukt stets mit (· ·). Etwas Vorsicht ist wegen der Nichtkommutativität im Fall IF = IH geboten. Stets gilt aber (αx βy) = α(x y)β̄, mit α, β ∈ IF. Jeder Hilbertraum besitzt ein vollständiges Orthonormalsystem, dessen Kardinalität, die Dimension, charakterisiert ihn eindeutig bis auf surjektive IF-lineare Isometrie. Daher dürfen wir im Fall dim_{IF}H = dim_{IF}K schon H = K annehmen. Jeder komplexe Hilbertraum erlaubt eine Konjugation. Denn ist (e_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von H, so leistet die Abbildung

∑_{i∈I} c_{i}e_{i} ↦ ∑_{i∈I} c̄_{i}e_{i}

das Gewünschte. Je zwei Konjugationen eines Hilbertraumes sind äquivalent.

z^{∗}, z̄, z′ Mithilfe des Skalarprodukts und der Konjugation können wir nun zu jedem z ∈ L(H, K) die adjungierte, konjugierte und transponierte Abbildung definieren.

\begin{matrix}z^{∗} ∈ L(K, H) : & (x z^{∗}y): = (zx y) \\ z̄ ∈ L(H, K) : & z̄(x̄): = \overline{zx} \\ z′ ∈ L(K, H) : & (x \overline{z′y}): = (zx ȳ) \end{matrix}

für alle x ∈ H, y ∈ K. Dabei ist die Transposition abhängig von der Konjugation und es gilt z^{∗} = z̄′. Über IR haben wir z^{∗} = z′, und z ↦ z̄ ist eine Konjugation von L(H, K).

irreduzibel Seien V ein Vektorraum über einem Körper k und F ⊂ End(V) eine Menge k-linearer Abbildungen auf V. Ein Unterraum W ⊂ V heißt F-invariant, falls F(W) ⊂ W gilt. Die Menge F heißt irreduzibel, falls {0} und V die einzigen F-invarianten Unterräume von V sind. Aus der linearen Algebra zitieren wir einen Spezialfall von Schurs Lemma:

1.1 Lemma Seien F ⊂ End(V) irreduzibel und k algebraisch abgeschlossen. Existiert ein u ∈ End(V), so daß uf = fu für alle f ∈ F gilt, so ist u ein Vielfaches der Identität.

Damit wollen wir nun ein für diese Arbeit zentrales und häufig benutztes Lemma beweisen, was auch als eine Art Schursches Lemma aufgefaßt werden kann, nur diesmal auf die spezielle Situation in L(H, K) abgestimmt.

1.2 Lemma Seien H, K ≠ 0 komplexe Hilberträume.

(i) Existieren Operatoren a ∈ L(K), b ∈ L(H), so daß az = zb für alle Rang 1 Operatoren z ∈ L(H, K) gilt, so sind a, b Vielfache der jeweiligen Identität.

(ii) Existieren Operatoren a, b ∈ L(H, K), so daß a′z = z′b für alle Operatoren z ∈

L(H, K) gilt, so sind a, b die Nullabbildung, falls dim_{C}H > 1 gilt. (iii) Seien ε ∈ {±1} und dim_{C}H > (1 − ε). Existieren Operatoren a, b ∈ L(H), so daß

az = zb für alle z = εz′ ∈ L(H) gilt, so sind a, b Vielfache der Identität.

Beweis. (i) Wir wählen eine beliebige nichttriviale Zerlegung H = H_{1} ⊕ H_{2} von H und schreiben b, z als Operatormatrizen (b_{ij}), (z_{i}). Angenommen, wir erhalten b_{12} ≠ 0. Dann lautet die Voraussetzung az_{i} = z_{1}b_{1i} + z_{2}b_{2i} für i ∈ {1, 2}. Es existiert ein x ∈ H_{2} derart, daß b_{12}x ≠ 0 gilt. Nach dem Satz von Hahn-Banach existiert nun eine Linearform λ ∈ H^{∗} mit λ(b_{12}x) ≠ 0. Wir wählen ein 0 ≠ y ∈ K und setzen z: H → K als z(ξ_{1}, ξ_{2}): = (λξ_{1})y. Dies ist offensichtlich ein Rang 1 Operator und es gilt az_{2} = 0 ≠ z_{1}b_{12}. Das ist ein Widerspruch, also muß b_{12} = 0 gelten. Ebenso erhalten wir b_{21} = 0. Da die Zerlegung von H beliebig war, kommutiert also b mit allen Projektionen auf H. Diese bilden aber eine irreduzible Menge, d.h. b muß ein Vielfaches der Identität sein. (ii) Nach Voraussetzung können wir H wieder zerlegen in H = H_{1} ⊕H_{2} mit dim_{C}H_{i} > 0 für i ∈ {1, 2}, so daß beide H_{i} invariant unter der gewählten Konjugation sind. Die Voraussetzung schreiben wir als a′_{i}z_{j} = z′_{i}b_{j}. Speziell für z = (x, 0) und z = (0, y) mit x ∈ L(H_{1}, K), y ∈ L(H_{2}, K) ergibt sich die Behauptung. (iii) Sei zunächst ε = −1. Es gibt eine nichttriviale konjugationsinvariante Zerlegung H = H_{1} ⊕ H_{2} mit dim_{C}H_{1} = 2. Für s ∈ GL(H_{1}) mit s′ = −s setzen wir z ∈ L(H) zu

z = ( \begin{matrix}s & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , was ( \begin{matrix}a_{11}s & 0 \\ a_{21}s & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}sb_{11} & sb_{12} \\ 0 & 0 \end{matrix} )

impliziert nach Voraussetzung. Es gilt also a_{21} = 0 = b_{12}. Für alle x ∈ L(H_{1}, H_{2}) haben wir dann mit

z = ( \begin{matrix}0 & −x′ \\ x & 0 \end{matrix} ) auch ( \begin{matrix}a_{12}x & −a_{11}x′ \\ a_{22}x & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−x′b_{21} & −x′b_{22} \\ xb_{11} & 0 \end{matrix} ) .

Aufgrund von (ii) erhalten wir a_{12} = 0 = b_{21}. Schließlich liefert (i) komplexe Zahlen r, t mit a_{11} = t11_{H_{1}}, b_{22} = t11_{H_{2}}, a_{22} = r11_{H_{2}}, b_{11} = r11_{H_{1}}. Jetzt sehen wir wieder mit z = \binom{s 0}{0 0}, daß sogar r = t gelten muß. Für ε = 1 und dim_{C}H ≥ 3 geht der Beweis entsprechend wie oben. Für dim_{C}H ≤ 2 ist es eine einfache Rechnung.

O(n), U(n), Sp(n) Die Isometriengruppen Imt(H) eines IF-Hilbertraumes H der Dimension n bezeichnen wir auch mit O(n) (über IR), U(n) (über C) und Sp(n) (über IH). Sie haben die reelle Dimension n(n − 1)/2 und n^{2} sowie n(2n + 1). Die reelle orthogonale Gruppe besteht in endlicher Dimension aus zwei Zusammenhangskomponenten. In unendlicher Dimension ist sie wie die unitäre und symplektische Gruppe in beliebiger Dimension zusammenhängend.

O(r, s; C) Ist ⟨· ·⟩ eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform der Signatur r, s auf einem komplexen Hilbertraum H, so bezeichne O(r, s; C), die Menge aller g ∈ GL(H), die diese Form invariant lassen. Wir schreiben O(n; C) für O(n, 0; C), die komplex-orthogonale Gruppe. Insbesondere ist ⟨x y⟩: = (x ȳ) eine solche Bilinearform, und es gilt O(n; C) ∩ U(n) ≅ O(n).

1.3 Lemma Jeder komplexe Hilbertraum gerader (insbesondere unendlicher Dimension) kann zu einem quaternionalen Hilbertraum gemacht werden.

Beweis. Sei K ein Hilbertraum über C mit dim_{C}K = 2n. Wir müssen die Multiplikation von Elementen aus K mit j ∈ IH erklären. Dazu zerlegen wir K in die Summe K = X⊕X mit dim_{C}X = n und setzen

j_{K}: = j: = ( \begin{matrix}0 & 11_{X} \\ −11_{X} & 0 \end{matrix} ) .

Es gilt j = j̄ = −j′, j^{2} = −11, j ∈ U(2n). Damit definieren wir jz: = j(z̄) für alle z ∈ H. So erhalten wir einen Links-Banachraum über IH. Es gibt genau eine Möglichkeit, das Skalarprodukt IH-linear fortzusetzen, und es ist klar, daß K damit zu einem Hilbertraum wird.

1.4 Lemma Eine IR-lineare Abbildung z: H → K zwischen komplexen Hilberträumen gerader Dimension ist genau dann IH-linear, wenn sie C-linear ist und zj_{H} = j_{k}\overline{z} gilt.

Beweis. Ist z IH-linear, so gilt

j_{K} \overline{z(ξ)} = jz(ξ) = z(jξ) = zj_{H}(ξ̄) ∀ξ ∈ H.

Für die Umkehrung lesen wir diese Zeile nur in einer anderen Reihenfolge:

z(jξ) = zj_{H}(ξ̄) = j_{K} \overline{z(ξ)} = jz(ξ) ∀ξ ∈ H.

𝔤𝔩(E) Für einen IF-Banachraum E ist GL(E) ⊂ L(E) eine reelle Banach-Liegruppe in der Operatortopologie. Die Lie-Algebra davon ist 𝔤𝔩(E): = (L(E), [·, ·]), wobei [·, ·] das Kommutatorprodukt auf L(E) bezeichnet. Für einen Hilbertraum H der Dimension n sind O(n), U(n), Sp(n) und O(n; C) allesamt reelle Banach-Liegruppen in der Normtopologie. Die Lie-Algebren dazu bezeichnen wir mit kleinen Frakturbuchstaben, z.B. 𝔲(n) = {X ∈ L(H) : X = −X^{∗}}.

Zerlegungen Ist E ein Banachraum, so heißt ein linearer Operator P auf E eine Projektion, falls P^{2} = P gilt, d.h. falls P ein Idempotent der assoziativen Algebra L(E) ist. Dieses P zerlegt nun den Gesamtraum E in E = E_{1} ⊕ E_{2}: = P (E) ⊕ (11 − P)(E).

Eine spezielle im folgenden sehr wichtige Zerlegung wollen wir noch näher untersuchen, die Pierce-Zerlegung einer Jordanalgebra. Sei dazu A eine Jordanalgebra. A ist also ein Vektorraum zusammen mit einem kommutativen bilinearen Produkt x ∘ y, das die Jordan-Identität x ∘ (x^{2} ∘ y) = x^{2} ∘ (x ∘ y) erfüllt. Ferner sei e ∈ A ein Idempotent. Dann ist die Multiplikation L_{e}: x ↦ e∘x eine lineare Abbildung auf A, die die Gleichung

2L_{e}^{3} − 3L_{e}^{2} + L_{e} = 0

erfüllt. Zum Beweis polarisieren wir die Jordan-Identität, indem wir x durch x + z ersetzen und alle Terme vom Grad 1 in x und Grad 2 in z sammeln (vgl. Kapitel 2). Wir erhalten

x ∘ (z^{2} ∘ y) + 2z ∘ ((x ∘ y) ∘ z) = z^{2} ∘ (x ∘ y) + 2(x ∘ z)(z ∘ y).

Jetzt setzen wir y = z = e und haben

e ∘ x + 2e ∘ (e ∘ (e ∘ x)) = e ∘ (e ∘ x) + 2e ∘ (e ∘ x),

was genau die Behauptung war. Damit annuliert also L_{e} das Polynom p(λ) = λ(λ − 1)(2λ − 1). Wir definieren die drei Polynome

\begin{aligned}p_{0}(λ) & : = (λ − 1)(2λ − 1) \\ p_{1/2}(λ) & : = 4λ(1 − λ) \\ p_{1}(λ) & : = λ(2λ − 1). \end{aligned}

Diese erfüllen die Gleichung p_{0} + p_{1/2} + p_{1} = 1. Außerdem teilt das ursprüngliche Polynom p alle Polynome der Form p_{k}^{2}−p_{k} = p_{k}(p_{k}−1), p_{k}p_{j} für k ≠ j, k, j ∈ {0, 1/2, 1}. Nun definieren wir neue Operatoren auf A, indem wir P_{k}: = p_{k}(L_{e}) setzen. Dann gilt offenbar P_{k}^{2} − P_{k} = 0, d.h. diese Operatoren sind Projektionen, und P_{k}P_{j} = 0 für k ≠ j, d.h. die Projektionen sind paarweise disjunkt. Außerdem summieren sie sich zur Identität auf A und es gilt

A = P_{1}(A) ⊕ P_{1/2}(A) ⊕ P_{0}(A).

Wir setzen A_{k}(e): = A_{k}: = P_{k}(A), denn offensichtlich ist diese Zerlegung von dem gewählten Idempotent abhängig. Schließlich rechnen wir nach, daß (L_{e} − k11)P_{k} = 0 gilt, also A_{k} gerade der k-Eigenraum von L_{e} ist. Damit haben wir den 1.5 Satz [Abschnitt I 12 in [4]] Seien A eine Jordanalgebra und e ∈ A ein Idempotent. Dann ist A die direkte Summe der Eigenräume des Operators L_{e}: x ↦ e ∘ x auf A, konkret:

A = A_{1}(e) ⊕ A_{1/2}(e) ⊕ A_{0}(e)

mit A_{k}(e) = {x ∈ A : L_{e}x = kx}. Diese Zerlegung heißt Piercezerlegung bezüglich e, die A_{k} heißen Pierceräume.

2. Komplexe JB^{∗}-Tripel und reelle Formen

2.1 Definition Ein JB^{∗}-Tripel ist ein komplexer Banachraum U zusammen mit einer sesquilinearen Abbildung U × U → L(U) : (a, b) ↦ a b, so daß für alle a, b, c, x, y ∈ U die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(i) Das Tripelprodukt {abc}: = a b(c) ist symmetrisch in a und c. (ii) [a b, x y] = {abx} y − x {yab}. (iii) a a ist hermitesch auf U und hat reelles nichtnegatives Spektrum. (iv) ∥a a∥ = ∥a∥^{2}.

In der Literatur findet sich verschiedentlich auch die Bezeichnung D(a, b) für den Operator a b, z.B. bei Loos in [32]. Die hier gewählte Bezeichnungsweise stammt von W. Kaup und ermöglicht einige elegante Darstellungen. Es läßt sich nämlich zeigen, daß stets ∥a b∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥ gilt. Vor diesem Hintergrund erscheint die Bedingung (iv) als direktes Analogon zur C^{∗}-Bedingung ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} in C^{∗}-Algebren. (Noch offensichtlicher war diese Analogie in den ersten Arbeiten von W. Kaup zu diesem Thema, in denen er a b^{∗} statt a b schrieb, um deutlich zu machen, daß dieser Operator konjugiert-linear von b abhängt [26].)

Die Abbildung (a, b) ↦ a b läßt sich auch als eine operatorwertige hermitesche Form auf U auffassen. Dadurch können wir auf natürliche Weise den Begriff der Orthogonalität einführen, der später noch eine entscheidende Rolle spielen wird. Dazu bezeichne H(U) ⊂ L(U) den IR-linearen Teilraum aller hermiteschen Operatoren auf U und J (U): = H(U) ⊕ iH(U) dessen Komplexifizierung. Aufgrund der Sesquilinearität der Abbildung (a, b) ↦ a b läßt sich leicht die Polarisationsformel

(2.2)  4a b = ∑_{ε^{4}=1} ε(a + εb) (a + εb)

nachrechnen. Damit ist wegen Bedingung (iii) die Menge aller Operatoren U U in J (U) enthalten. Auf J (U) definiert nun (λ + iσ)^{∗}: = λ − iσ, λ, σ ∈ H(U) eine stetige Konjugation [3]. Dann ist die Hermitizität in (iii) äquivalent zu

(a b)^{∗} = b a für alle a, b ∈ U.

Komplexe JB∗-Tripel 15

Insgesamt erhalten wir eine positiv definite hermitesche Form mit Werten in L(U). Davon ausgehend nennen wir a, b ∈ U orthogonal und schreiben a⊥b, falls a b = 0 (oder äquivalent b a = 0) gilt. Für eine Teilmenge S ⊂ U schreiben wir a⊥S, falls a⊥c für alle c ∈ S gilt, und definieren S^{⊥}: = {x ∈ U : x⊥S}. Die Teilmenge S heißt vollständig, falls S^{⊥} = 0 gilt.

Eine alternative wenn auch äquivalente Definition für JB^{∗}-Tripel erhält man, indem man auf einem komplexen Banachraum direkt die Existenz eines Tripelproduktes als einer Abbildung U^{3} → U mit gewissen Eigenschaften fordert. Diese Definition betont also mit der Existenz eines dreiwertigen Produktes die Nähe zur Definition einer Algebra mit zweiwertigem Produkt. Die Bedingungen lauten dann:

(i) Das Tripelprodukt {abc} ist komplex-linear und symmetrisch in a, c und konjugiertlinear in b.

(ii) Die Jordantripel-Identität gilt, d.h.

(2.3)  {xy{abc}} = {{xya}bc} − {a{bxy}c} + {ab{xyc}}.

(iii) Die lineare Abildung z ↦ {aaz} ist hermitesch auf U und hat nichtnegatives reelles Spektrum.

(iv) ∥{aaa}∥ = ∥a∥^{3}.

Und zwar sollen alle Bedingungen für alle a, b, c, x, y ∈ U gelten. Die ersten drei Bedingungen hier und in der Definition entsprechen sich offensichtlich unmittelbar. Die Äquivalenz der jeweils vierten Bedingung wird in Proposition 5.3 in [27] gezeigt. Ferner läßt sich zeigen, daß stets ∥{abc}∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥ · ∥c∥ gilt.

Eine entscheidende Beobachtung scheint zu sein, daß sich das Tripelprodukt und die Norm auf einem JB^{∗}-Tripel gegenseitig eindeutig bestimmen. Zu einem gegebenen Banachraum besteht also höchstens eine Möglichkeit, ein Tripelprodukt derart zu definieren, daß ein JB^{∗}-Tripel entsteht, und umgekehrt. (Für C^{∗}-Algebren gilt dieser Zusammenhang nicht. Zu einer gegebenen C^{∗}-Algebra A ist bei gleicher isometrischer Struktur aber umgekehrter Multiplikation die entstehende Algebra A^{op} wieder eine C^{∗}- Algebra.) Wir können in diesem Sinne also sagen, ein gegebener Banachraum ist entweder ein JB^{∗}-Tripel oder nicht.

2.4 Beispiele Die Klasse aller JB^{∗}-Tripel umfaßt einige wohlbekannte Klassen von Objekten.

(i) Jeder komplexe Hilbertraum wird unter der gegebenen Hilbertnorm zu einem JB^{∗}- Tripel vermöge des Tripelprodukts

(2.5)  {abc}: = (a b)c + (c b)a − (a c̄)b̄,

wobei (· ·) das gegebene Skalarprodukt und z ↦ z̄ eine Konjugation bezeichne (vgl. Kapitel 1).

(ii) Jede C^{∗}-Algebra wird vermöge des Tripelprodukts

(2.6)  {abc}: = (ab^{∗}c + cb^{∗}a)/2

zu einem JB^{∗}-Tripel.

(iii) Jede JB^{∗}-Algebra wird ebenfalls ein JB^{∗}-Tripel (vgl. Prop. 20.35 in [36]), und zwar mit dem Tripelprodukt

(2.7)  {abc}: = (a ∘ b^{∗}) ∘ c + (c ∘ b^{∗}) ∘ a − (a ∘ c) ∘ b^{∗}.

(iv) Als eine Verallgemeinerung von (ii) wird sogar L(H, K) für beliebige komplexe Hilberträume H, K unter dem Produkt 2.6 zu einem JB^{∗}-Tripel. In endlicher Dimension beispielsweise sind also über die quadratischen Matrizen M(n, C) hinaus auch die rechteckigen Matrizen M(n × m, C) JB^{∗}-Tripel.

(v) Die wichtigsten und in einer später noch genauer zu erklärenden Weise repräsentativen Beispiele sind die sechs sogenannten Cartanfaktoren. Der erste davon ist L(H, K) aus (iv). Die vollständigen Definitionen und ein ausführliches Studium der Cartanfaktoren findet sich in Kapitel 3.

Das Tripelprodukt und der Q-Operator

Für jede Algabra muß erklärt werden, ob sie assoziativ ist, oder wie sie von der Assoziativität abweicht. Dies leisten beispielsweise die Jacobi-Identität in einer Lie-Algebra oder die Jordanidentität in einer Jordanalgebra. Im Falle von JB^{∗}-Tripeln muß erklärt werden, wie man in ”Fünferprodukten” die Klammern ”verschiebt”, und genau das tut die Jordantripel-Identität 2.3. Zusammen mit der Bedingung (i) ergibt sich eine Art ”Assoziativität” für gewisse Produkte, nämlich:

(2.8)  {{aba}ca} = {a{bac}a} = {ab{aca}} und

(2.9)  {{aba}bd} = {a{bab}d} für alle a, b, c, d ∈ U.

Man kann sogar zeigen, daß 2.8 und 2.9 zusammen äquivalent zu 2.3 sind. Wir nennen ein JB^{∗}-Tripel U abelsch, falls die Operatorenmenge U U ⊂ L(U) abelsch ist. Dies ist äquivalent dazu, daß das Tripelprodukt für beliebige Fünferprodukte assoziativ ist.

Weitere Identitäten für das Tripelprodukt erhalten wir durch den Prozeß der Polarisierung. Dazu ersetzen wir z.B. in (2.8) a durch a + d und betrachten dann nur diejenigen Terme, die Grad 2 in a und Grad 1 in d haben. Wir erhalten

2{ab{acd}} + {db{aca}} = 2{a{bac}d} + {a{bdc}a}.

Ebenso polarisieren wir 2.9, indem wir b durch b + c ersetzen, was

{{aba}cd} + {{aca}bd} = 2{a{bac}d}

ergibt. Durch Subtraktion dieser beiden Zeilen erhalten wir

(2.10)  2{ab{acd}} − {{aba}cd} = {a{bdc}a},

was wir später noch benötigen werden. Weitere Manipulationen dieser Art liefern schließlich noch die sogenannte Fundamentalformel:

(2.11)  {a{b{aca}b}a} = {{aba}c{aba}}.

Zur Vereinfachung der Notation definieren wir den Q-Operator als

(2.12)  Q(a): = Q_{a}: U → U : z ↦ Q_{a}(z): = {aza}

für alle a ∈ U. Damit schreibt sich die Fundamentalformel 2.11 als

Q_{a}Q_{b}Q_{a} = Q(Q_{a}(b)).

2.13 Hilfssatz In einem JB^{∗}-Tripel U gilt

Q_{a}z = 0 ∀z ∈ U ⟹ a = 0.

Beweis. Aus 0 = Q_{a}(a) = {aaa} folgt mit (iv)’ ∥a∥^{3} = ∥{aaa}∥ = 0, d.h. a = 0.

Außerdem können wir noch ungerade Potenzen von Elementen in U definieren, indem wir a^{1}: = a und a^{2n+1}: = Q_{a}(a^{2n−1}) = a a(a^{2n−1}) für alle a ∈ U setzen. Insbesondere wird a^{3} = {aaa} manche Schreibweise verkürzen. Aufgrund der Linearität in den äußeren Variablen ist das Tripelprodukt bereits auf den Produkten der Form {aba} vollständig festgelegt, und aufgrund der Polarisationsformel genügt es sogar, die dritten Potenzen zu kennen.

Untertripel, Ideale und Morphismen

Sei U stets ein JB^{∗}-Tripel. Ein abgeschlossener Unterraum W ⊂ U heißt Untertripel, falls {W W W } ⊂ W gilt. Ein Ideal in U ist ein abgeschlossener Unterraum I ⊂ U, so daß {IUU} + {UIU} ⊂ I gilt. Dann ist U/I auf natürliche Weise wieder ein JB^{∗}-Tripel, und jedes Ideal in I ist auch ein Ideal in U [31]. Ein JB^{∗}-Tripel U heißt ein JBW*-Tripel, falls U als Banachraum der Dualraum eines anderen Banachraumes ist. Diesen bezeichnen wir mit U_{∗} und nennen ihn Prädual. Zum Beispiel ist jeder Hilbertraum ein JBW^{∗}-Tripel, ebenso der in Beispiel (iv) angeführte Cartanfaktor L(H, K). Der Prädual eines JB^{∗}-Tripels ist eindeutig bestimmt (Theorem 3.21 in [20]). Daher können wir von der schwachen Topologie w^{∗} = σ(U, U_{∗}) sprechen. Ein JBW^{∗}-Tripel U heißt ein Faktor oder einfach, falls keine Zerlegung U = V ⊕W von U in nichttriviale Ideale V, W existiert, bzw. äquivalent dazu, falls {0} und U die einzigen w^{∗}-abgeschlossenen Ideale von U sind [20]. Ausführliche Darstellungen der Struktur von JB^{∗}-Tripeln finden sich außerdem in [2] und [11]. Wir kommen zu Beginn des Kapitels 3 nochmals darauf zurück.

Eine stetige Abbildung λ: U → V zwischen JB^{∗}-Tripeln U, V heißt ein Tripelmorphismus, falls für alle a, b, c ∈ U

λ{abc}_{U} = {λ(a) λ(b) λ(c)}_{V}

gilt. (Man muß die Stetigkeit nicht einmal fordern, sie ergibt sich für jede Abbildung, die das Tripelprodukt respektiert.) Entsprechend heißt ein bijektiver Tripelmorphismus ein Isomorphismus, und die Menge aller Automorphismen bezeichnen wir mit Aut(U). Ebenso bezeichnen wir alle semilinearen Automorphismen mit Aut_{s}(U). Da jeder Tropelmorphismus stetig ist, haben wir Aut_{s}(U) ⊂ GL_{s}(U). Weil sich die algebraische und die geometrische Struktur eines JB^{∗}-Tripel gegenseitig eindeutig bestimmen, erhalten wir die Gleichheit der Mengen Aut_{s}(U) = Imt_{s}(U) (vgl. Prop. 5.5 in [27] oder (2.4) in [20]). Insbesondere sind die Konjugationen des Tripels U (konjugiert-lineare Automorphismen der Periode 2) genau die Konjugationen des Banachraumes U wie in Kapitel 1 definiert. Dies führt uns zum nächsten Abschnitt.

Reelle JB^{∗}-Tripel und reelle Formen

Während die Definition eines JB^{∗}-Tripels in der Literatur durchgängig dieselbe ist und von allem auf diesem Gebiet Forschenden anerkannt wird, ist die Situation für ein reelles Analogon sehr unübersichtlich. So definieren Upmeier ein JB^{∗}-Tripel über IR (Def. 20.7 in [36]) und Dang/Russo ein J*B-Tripel [9]. Wir legen hier jedoch die Philosophie aus [22] zugrunde, reelle Strukturen als reelle Formen komplexer Strukturen zu betrachten.

2.14 Definition Ein reeller Banachraum E zusammen mit einer trilinearen Abbildung {…}: E^{3} → E heißt ein reelles JB^{∗}-Tripel, falls es ein (komplexes) JB^{∗}-Tripel U und eine IR-lineare Isometrie λ: E → U gibt, die das Tripelprodukt respektiert, d.h. die

λ{abc}_{E} = {λ(a) λ(b) λ(c)}_{U}

für alle a, b, c ∈ E erfüllt. Ein reelles JB^{∗}-Tripel ist also im wesentlichen ein abgeschlossenes reelles Untertripel eines komplexen JB^{∗}-Tripel. Zur Unterscheidung und Betonung nennen wir von nun an ein JB^{∗}-Tripel im Sinne der Definition 2.1 auch ein komplexes JB^{∗}-Tripel.

Seien nun U ein komplexes JB^{∗}-Tripel und τ eine Konjugation auf U. Aufgrund der Beobachtung oben ist τ sowohl im Sinne des Tripels als auch des Banachraumes eine Konjugation. Daher ist der Fixraum U^{τ}: = {x ∈ U : τ(x) = x} sowohl ein reeller Unterraum von U mit U = U^{τ} ⊕ iU^{τ} (vgl. Kapitel 1), als auch ein reelles Untertripel, d.h. U^{τ} ist ein reelles JB^{∗}-Tripel. Wir nennen U^{τ} eine reelle Form von U. Jede reelle Form eines JB^{∗}-Tripels ist ein reelles JB^{∗}-Tripel, doch auch die Umkehrung gilt.

2.15 Lemma [Prop. 2.2 in [22]] Sei E ein reelles JB^{∗}-Tripel. Dann gibt es genau eine Möglichkeit, die Komplexifizierung U: = E ⊕ iE zu einem komplexen JB^{∗}-Tripel zu machen, und eine Konjugation τ auf U, für die E = U^{τ} gilt. Wir nennen U die Hermitifizierung von E und schreiben E^{C}.

Beweis. Aufgrund der Definition können wir E mit einem abgeschlossenen reellen Untertripel eines JB^{∗}-Tripels V identifizieren. Weiterhin setzen wir W: = V × \overline{V} und identifizieren E mit dem Untertripel {(x, x̄) ∈ W : x ∈ E}. Auf W definieren wir den konjugiert- linearen Automorphismus τ: (x, ȳ) ↦ (y, x̄). Dieser läßt offenbar die Komplexifizierung U: = E ⊕ iE ⊂ W invariant, d.h. läßt sich darauf einschränken. Und dort ist die Bedingung τ(x, ȳ) = (x, ȳ) genau die definierende Gleichung für E, also E = U^{τ} .

2.16 Beispiele

(i) Jede reelle C^{∗}-Algebra wird (analog zum komplexen Fall) zu einem reellen JB^{∗}- Tripel [13].

(ii) Jede JB-Algebra wird zu einem reellen JB^{∗}-Tripel, da die Komplexifizierung einer JB-Algebra eine JB^{∗}-Algebra ist [37].

(iii) Jede J^{∗}B-Algebra im Sinne von Alvermann [1].

(iv) Aus jedem JB^{∗}-Tripel U erhalten wir ein reelles JB^{∗}-Tripel U_{IR}, indem wir die Skalare einfach auf IR beschränken.

Ein reelles JB^{∗}-Tripel E heißt komplexifizierbar, falls es ein komplexes JB^{∗}-Tripel U gibt mit U_{IR} = E. Ferner nennen wir E ein reelles sl JBW*-Tripel, wenn es die reelle Form eines komplexen JBW*-Tripels ist. Zu einer gegebenen reellen Form ist die Hermitifizierung eindeutig. Umgekehrt kann es zu einem komplexen JB^{∗}-Tripel mehrere nicht-äquivalente reelle Formen geben. Diese zu bestimmen ist ja der erste Schwerpunkt in [30] und wird in dieser Arbeit in Kapitel 4 ausführlich dargestellt. Eine Bemerkung dazu gehört jedoch schon an diese Stelle. Dazu sei an eine Definition aus Kapitel 1 erinnert: Zwei Konjugationen τ, σ auf einem JB^{∗}-Tripel U heißen äquivalent, falls es eine surjektive C-lineare Isometrie g auf U gibt, so daß σ = gτg^{−1} gilt. Nun haben wir gerade die Inklusion Imt(U) ⊂ Aut(U) gesehen.

2.17 Bemerkung Seien U ein JB^{∗}-Tripel und T : = T (U) die Menge aller Konjugationen auf U. Dann wirkt die Gruppe Aut_{s}(U) auf T vermöge τ ↦ gτg^{−1}, und die Untergruppe Aut(U) = Imt(U) hat dieselben Bahnen in T wie Aut_{s}(U).

Beweis. Ist τ eine Konjugation und g ∈ Aut_{s}(U) konjugiert-linear, so ist h: = gτ in Aut(U), und es gilt gτg^{−1} = gτττg^{−1} = gττ(gτ)^{−1} = hτh^{−1}.

Es gibt aber auch JB^{∗}-Tripel, die keine Konjugationen zulassen und daher auch keine reellen Formen besitzen [29].

Tripotente und Zerlegungen

Im folgenden bezeichne E stets ein reelles oder komplexes JB^{∗}-Tripel. Da es vielfach nur auf die algebraische Struktur von E ankommen wird, sprechen wir auch allgemeiner von einem Jordanschen Tripelsystem und meinen damit einen Vektorraum zusammen mit einem Klammerprodukt {…}, das (i) und (ii) bzw. (2.3) erfüllt. Wir wollen die Idee aus Kapitel 1, eine Jordan-Algebra bezüglich eines Idempotents in direkte Teilräume zu zerlegen, auf JB^{∗}-Tripel übertragen. Diese Zerlegungen werden vor allem in Kapitel 5 von großer Bedeutung sein.

Ein Element e ∈ E heißt ein Tripotent, falls e^{3} = e gilt. Wegen Bedingung (iv) hat jedes Tripotent die Norm 1. Tripotente übernehmen in Tripelsystemen die Rolle von Idempotenten in Jordanalgebren, und zwischen beiden besteht ein enger Zusammenhang. Wie schon erwähnt wird jede JB^{∗}-Algebra vermöge des Tripelprodukts 2.7 zu einem JB^{∗}-Tripel. (Allgemeiner wird jede Jordanalgebra so zu einem Jordanschen Tripelsystem.) Ist dabei e ∘ e = e ein Idempotent der Algebrastruktur, so ist {eee} = e ein Tripotent der Tripelstruktur. Dieser Sachverhalt läßt sich in gewisser Weise umkehren. Seien E ein Jordansches Tripelsystem und e ∈ E ein Tripotent, dann wird E vermöge

(2.18)  x ∘ y: = {xey}

zu einer Jordanalgebra mit Idempotent e. Der Beweis beruht im wesentlichen auf einer mehrfachen Anwendung der Formel 2.10. (Es stimmt aber nicht, daß ein JB^{∗}-Tripel auf diese Weise zu einer JB^{∗}-Algebra wird, siehe unten.) Weitergehende Formulierungen des Sachverhalts und ausführliche Beweise finden sich z.B. in den Propositionen 19.7. und 19.13 in [36]. An dieser Stelle benötigen wir nur noch die Beobachtung, daß der Operator e e auf dem Tripelsystem genau dem Operator L_{e} auf der Jordanalgebra entspricht, um die in Kapitel 1 erreichte Zerlegung auf Tripelsysteme zu übertragen.

2.19 Satz Seien E ein reelles oder komplexes JB^{∗}-Tripel und e ∈ E ein Tripotent. Dann existiert eine Zerlegung

(2.20)  E = E_{1}(e) ⊕ E_{1/2}(e) ⊕ E_{0}(e)

von E in die k-Eigenräume des Operators e e ∈ L(E). Diese Zerlegung heißt Piercezerlegung von E bezüglich e, die E_{k} heißen die Pierceräume bezüglich e.

Die Projektionen auf die Pierceräume aus dem Algebrakontext lassen sich nun auch mit Hilfe von Operatoren des Tripels E angeben. Es gilt z.B.

\begin{matrix}P_{1}(x) = & 2\{\{xee\}ee\} − \{xee\} \\ =^{2.3} & 2[\{xe\{eee\}\} + \{e\{exe\}e\} − \{ee\{xee\}\}] − \{xee\} \\ = & 2\{e\{exe\}e\} − 2\{ee\{xee\}\} + \{xe\{eee\}\} \\ =^{2.10} & 2\{e\{exe\}e\} − \{e\{exe\}e\} = Q^{2}(e)(x), \end{matrix}

d.h. U_{1}(e) = Q^{2}(e)(U).

2.21 Beispiel Seien H ein Hilbertraum und E das Tripel E = L(H) mit dem Produkt 2.6. Ist e ∈ E ein Tripotent, so gilt e = {eee} = ee^{∗}e. Als Operator auf H ist deshalb ee^{∗} = ee^{∗}ee^{∗} = (ee^{∗})^{2} eine Projektion und zerlegt den Gesamtraum in H = ee^{∗}(H) ⊕ (11 − ee^{∗})(H) =: H_{1} ⊕ H_{2}. Daher können wir jedes Element in E als eine 2 × 2-Matrix von Operatoren schreiben, und e hat die Form

e = ( \begin{matrix}u & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , wobei notwendig u ∈ Imt(H_{1}) gilt.

Wir berechnen die Pierceräume von E bezüglich e.

\{eez\} = kz ⟺ \frac{1}{2}(ee^{∗}z + ze^{∗}e) = kz

⟺ \frac{1}{2}[( \begin{matrix}11 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}z_{1} & z_{2} \\ z_{3} & z_{4} \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}z_{1} & z_{2} \\ z_{3} & z_{4} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}11 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )] = k ( \begin{matrix}z_{1} & z_{2} \\ z_{3} & z_{4} \end{matrix} )

⟺ \frac{1}{2} ( \begin{matrix}2z_{1} & z_{2} \\ z_{3} & 0 \end{matrix} ) = k ( \begin{matrix}z_{1} & z_{2} \\ z_{3} & z_{4} \end{matrix} ) .

Daher erhalten wir

\begin{aligned}E_{1}(e) & = \{( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ E : x ∈ L(H_{1})\} \\ E_{1/2}(e) & = \{( \begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix} ) ∈ E : x ∈ L(H_{2}, H_{1}), y ∈ L(H_{1}, H_{2})\} \\ E_{0}(e) & = \{( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ) ∈ E : x ∈ L(H_{2})\}. \end{aligned}

Setzen wir E_{k} = 0 für k ∉ {0, 1/2, 1} so gelten für die Pierceräume die folgenden Multiplikationsregeln:

(2.22)  {E_{j}E_{k}E_{l}} ⊂ E_{j−k+l}, {E_{1}E_{0}E} = 0 = {E_{0}E_{1}E}.

Insbesondere sind alle Pierceräume Untertripel und E_{1}, E_{0} sind orthogonal zueinander.

Nun betrachten wir noch den oben definierten Q-Operator und die mit Q_{e} verbundenen Zerlegungen. Aus den Multiplikationsregeln erhalten wir zunächst Q_{e}(x) = {exe} = 0 falls x ∈ E_{1/2}(e) ⊕ E_{0}(e) und Q_{e}(E_{1}(e)) ⊂ E_{1}(e). Da Q_{e}^{2} gerade die Projektion auf E_{1}(e) ist, zerlegt Q_{e} den Pierce-1-Raum in einen +1- und einen -1-Eigenraum. Wir erhalten

E = E^{1}(e) ⊕ E^{−1}(e) ⊕ E^{0}(e), E_{1}(e) = E^{1}(e) ⊕ E^{−1}(e)

für E^{k}(e): = {x ∈ E : Q_{e}(x) = kx}. Für diese Pierceräume gilt nun die Multiplikationsformel {E^{j}E^{k}E^{l}} ⊂ E^{jkl}, falls jkl ≠ 0. Ist E ein komplexes JB^{∗}-Tripel, so wird E_{1}(e) mit der Multiplikation 2.18 und der Involution ∗ = Q_{e} zu einer JB^{∗}-Algebra ((2.2) in [5]). Außerdem gilt im Komplexen E^{1} = iE^{−1}, wohingegen im Reellen die Dimensionen von E^{1} und E^{−1} verschieden sein können. Im Beispiel 2.21 erhalten wir

E^{k}(e) = \{( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ E : x ∈ L(H_{1}), ux^{∗}u = kx\} ≅ \{x ∈ L(H_{1}) : x = kx^{∗}\}

für k ∈ {±1}. Im reellen Fall bezeichnet ∗ natürlich die Transposition. Damit hat der Raum E^{1} die Dimension n(n + 1)/2 und E^{−1} nur die Dimension n(n − 1)/2.

Sind e, f ∈ E zwei Tripotente derart, daß alle Projektionen auf die zugehörigen Pierceräume kommutieren, so gibt es natürlich eine gemeinsame Verfeinerung der Zerlegungen. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn e, f orthogonal sind [21]. Für eine ganze Familie (paarweise) orthogonaler Tripotente (e_{i})_{i∈I} ergeben sich die Räume

\begin{aligned}E_{ii}: & = E_{1}(e_{i}) E_{00}: = ⋂_{i∈I} E_{0}(e_{i}) \\ E_{ij}: & = E_{1/2}(e_{i}) ∩ E_{1/2}(e_{j}) i ≠ j \\ E_{i0}: & = E_{1/2}(e_{i}) ∩ ⋂_{j≠i} E_{0}(e_{j}). \end{aligned}

Deren Summe ist direkt und für endliche Indexmengen I sogar der ganze Raum E. Die Multiplikationsregel lautet diesmal {E_{ij}E_{jk}E_{kl}} ⊂ E_{il}, i, j, k, l ∈ (I ∪ {0}). Jedes Produkt, das nicht in diese Form gebracht werden kann, verschwindet [21]. Im Falle I ∈ {1, 2} erhalten wir e_{i} ∈ E_{0}(e_{j}), i ≠ j, sowie

E = E_{1}(e_{1}) ⊕ E_{1}(e_{2}) ⊕ E_{12} ⊕ E_{10} ⊕ E_{20} ⊕ E_{00}.

Es gilt sogar E_{1}(e_{i}) ⊂ E_{0}(e_{j}), i ≠ j. Die Summe e = e_{i} + e_{j} ist ein Tripotent mit den Pierce-Räumen

\begin{aligned}E_{1}(e) & = E_{1}(e_{1}) ⊕ E_{1}(e_{2}) ⊕ (E_{1/2}(e_{1}) ∩ E_{1/2}(e_{2})) \\ E^{−1}(e) & = E^{−1}(e_{1}) ⊕ E^{−1}(e_{2}) ⊕ ⋂_{i=1,2}(E^{−1}(e_{i}) ⊕ E_{1/2}(e_{i})). \end{aligned}

In einem JBW^{∗}-Tripel ist für jede Familie orthogonaler Tripotente die Summe e = ∑_{i∈I} e_{i} w^{∗}-konvergent [21] und e ∈ E ein Tripotent. Ist e vollständig, so heißt (e_{i})_{i∈I} auch ein vollständiges Orthogonalsystem von Tripotenten. Schließlich heißen zwei Tripotente e_{1}, e_{2} kollinear, falls e_{i} ∈ E_{1/2}(e_{j}), i ≠ j gilt.

Spezielle Tripotente und der Rang

Eine Teilmenge S ⊂ E heißt orthogonal, falls 0 nicht in S ist und je zwei verschiedene Elemente in S orthogonal sind, d.h.

x, y ∈ S, x ≠ y ⟹ x⊥y.

Wir setzen r: = r(E) als die kleinste Kardinalzahl, die card(S) ≤ r für jede orthogonale Teilmange S ⊂ E erfüllt, und nennen sie den Rang von E. Damit definieren wir den Rang r(e) eines Tripotents e ∈ E als den Rang des Pierce-1-Raumes, r(e): = r(E_{1}(e)). Ein Tripotent heiße nun

slvollständig, falls E_{0}(e) = 0,
slminimal, falls E^{1}(e) = IRe ≠ 0 und
unitär, falls e e = 11 gilt.

Ein Tripotent ist also genau dann vollständig, wenn e e injektiv ist, und genau dann minimal, wenn es den Rang 1 hat. Im allgemeinen enthält E weder minimale noch vollständige Tripotente. Beispielsweise sind die vollständigen Tripotente genau die Extremalpunkte der Einheitskugel in E ( Lemma 3.3 in [22]). Ist E jedoch ein reelles oder komplexes JBW^{∗}-Tripel, so existieren aufgrund des Satzes von Krein- Milman stets vollständige Tripotente.

Ist e ∈ E unitär in einem komplexen JB^{∗}-Tripel E, so ist der Pierce-1-Raum bereits das Ganze, und nach dem oben Gesagten wird dann E zusammen mit x ∘ y: = {xey} und x^{∗}: = Q_{e}(x) zu einer JB^{∗}-Algebra mit Einselement e. Es gilt sogar der

2.23 Satz [Proposition 19.13 in[36]] Die unitalen JB^{∗}-Algebren entsprechen genau den JB^{∗}-Tripeln mit ausgezeichnetem unitärem Tripotent. Genauer: Ist A eine JB^{∗}-Algebra mit Einselement e, so wird A durch 2.7 zu einem JB^{∗}-Tripel mit unitärem Tripotent e. Ist E ein JB^{∗}-Tripel mit unitärem Tripotent e, so wird E durch 2.18 und ∗ = Q_{e} zu einer JB^{∗}-Algebra mit Einselement e. Die beiden Konstruktionen sind invers zueinander.

Ist E wie im Satz, so ist der selbstadjungierte Teil B der JB^{∗}-Algebra E eine JB-Algebra, für die B = {x ∈ E : Q_{e}(x) = x} = E^{1}(e) und E = B ⊕ iB gilt ( Prop. 3.8.2 in [14]). Es bezeichne U(E) ⊂ E die (möglicherweise leere) Menge aller unitären Elemente in E. Für e ∈ U(E) und g ∈ Aut(E) berechnen wir

ge ge(x) = {ge ge gy} = g{eey} = g(y) = x

mit y: = g^{−1}(x). Damit ist U(E) invariant unter der Automorphismengruppe von E. Es ist sogar jede Zusammenhangskomponente von U ein Aut^{0}(U)-Orbit.

Ist E ein reeller oder komplexer JBW^{∗}-Tripelfaktor, so heißt ein Tripotent e ∈ E maximal, falls e vollständig ist, und außerdem dim_{IR}E_{1/2}(e) ≤ dim_{IR}E_{1/2}(f) für jedes vollständige Tripotent f ∈ E gilt. Offensichtlich ist jedes unitäre Tripotent maximal und in endlicher Dimension ist sogar jedes vollständige Tripotent maximal. In endlicher Dimension gibt es nämlich zu je zwei vollständigen Tripotenten einen Automorphismus, der eines in das andere überführt (Theorem 5.3 in [33]). Es bezeichne M: = M(E) die Menge aller maximalen Tripotente in einem JBW^{∗}-Tripelfaktor E. Sowohl M als auch U sind reell-analytische Untermannigfaltigkeiten von E [22].

2.24 Satz [Prop. 2.4 in [30]] Seien H ein komplexer Hilbertraum der Dimension n und E ⊂ U: = L(H) ein reelles oder komplexes JB^{∗}-Tripel. Dann gilt:

(i) U(U) ist genau die Menge U(n) aller unitären Operatoren auf H. (ii) U(E) = E ∩ U(U), falls 11_{H} ∈ E. (iii) U(U) ist genau dann nichtleer, wenn es einen komplexen Hilbertraum K gibt

derart, daß E als Untertripel E ⊂ L(K) aufgefaßt werden kann mit 11_{K} ∈ E. (iv) Ist E ein komplexes JBW^{∗}-Tripel, so ist U(E) zusammenhängend.

Beweis. (i)

e ∈ U(U) ⟺ \frac{1}{2}(ee^{∗}z + ze^{∗}e) = z ∀z ∈ L(H)

⟺ \frac{1}{2}ee^{∗}z = z(11 − \frac{1}{2}e^{∗}e) ∀z ∈ L(H)

⟺^{1.2}\{{\frac{1}{2}ee^{∗} = λ11 \atop 11 − \frac{1}{2}e^{∗}e = λ11} für ein λ ∈ IR

⟺ λ = \frac{1}{2} und e^{∗}e = ee^{∗} = 11 ⟺ e ∈ U(n)

(ii) Ist e ∈ E ein unitäres Tripotent in U, so ist e offensichtlich auch unitär in E. Sei umgekehrt e ∈ U(E), d.h. e e = 11_{E}. Nach Voraussetzung haben wir 11_{H} ∈ E, und somit gilt {ee11_{H}} = 11_{H}, was 11_{H} ∈ U_{1}(e) impliziert. Wegen U_{1}(e) = Q_{e}^{2}(U) existiert ein w ∈ L(H) derart, daß 11_{H} = ee^{∗}we^{∗}e gilt. Da ee^{∗}, e^{∗}e Projektionen sind, muß schon ee^{∗} = 11_{H} = e^{∗}e gelten, d.h. e ∈ U(n) = U(U). (iii) Ist E ⊂ L(K) ein Untertripel mit 11_{K} ∈ E, so ist offensichtlich U(E) ≠ 0, da 11_{K} unitär ist. Sei umgekehrt e ∈ U(E). Dann gilt E = Q_{e}^{2}(E) ⊂ Q_{e}^{2}(U) = U_{1}(e). Insbesondere haben wir ee^{∗}ze^{∗}e = z für alle z ∈ E. Wir setzen nun

K: = e^{∗}e(H) = {e^{∗}eη : η ∈ H} und φ: E → L(K) : φ(z): = e^{∗}ze^{∗}e_{|K}.

Es ist einfach, nachzurechnen, daß φ ein wohldefinierter Tripelmonomorphismus mit φ(e) = 11_{K} ist. zu(iv) Ist E ein komplexes JBW^{∗}-Tripel in L(H), so existieren Extremalpunkte der Einheitskugel in E, und also ist U(E) nichtleer. Wegen (ii) und (iii) dürfen wir 11_{H} =: e ∈ E und U(E) = E ∩ U(U) annehmen. Sei nun c ∈ U(E) = E ∩ U(U). Wegen (i) ist c unitär auf H, insbesondere normal. Dann existiert ein abelsches Untertripel A ⊂ E, welches e und c enthält. Wir dürfen annehmen, daß A maximal abelsch ist und damit eine abelsche C^{∗}-Unteralgebra von L(H). A ist außerdem w^{∗}-abgeschlossen in E. Daher ist A isomorph zu L^{∞}(Σ, μ) und enthält e als die Funktion konstant Eins. Da c normal ist, ist es von der Form c = exp(ih) mit h = h^{∗} ∈ A. Und schließlich definiert t ↦ exp(ith) einen Weg, der e mit c in A verbindet und außerdem in U(U) liegt.

Zusammenfassung JB^{∗}-Tripel sind eine bestimmte, relativ große Klasse von komplexen Banachräumen. Die Klasse enthält alle Hilberträume, alle C*-Algebren und alle JB*-Algebren. JB^{∗}-Tripel sind durch die Existenz eines dreiwertigen Produktes , das bestimmte Eigenschaften erfüllt, eindeutig charakterisiert. Damit verallgemeinern sie auch die algebraische Struktur von C*- und JB*-Algebren. Ein reelles JB^{∗}-Tripel ist ein bezüglich des Tripelprodukts abgeschlossener reeller Unterraum eines komplexen JB^{∗}-Tripels oder äquivalent dazu eine reelle Form eines JB^{∗}-Tripel. Jedes Komplexe JB^{∗}-Tripel kann als reelles JB^{∗}-Tripel aufgefaßt werden.

Für die Struktur von JB^{∗}-Tripeln spielen Tripotente und die mit ihnen assoziierten Zerlegungen des Gesamtraums in die direkte Summe der Pierce-Räume eine wichtige Rolle. Minimale, vollständige und unitäre Tripotente haben weitere spezielle Eigenschaften. Schließlich wurden alle unitären Tripotente der Untertripel von L(H) bestimmt.

3. Komplexe Cartanfaktoren

In diesem Kapitel wollen wir nun die für diese Arbeit zentralen Objekte vorstellen, die sogenannten Cartanfaktoren. Sie bilden eine besonders wichtige Klasse von JB*- Tripeln, genauer gesagt von JBW*-Tripeln. Sie treten in sechs Typenklassen auf, von denen wir jeder einen kleinen Abschnitt widmen möchten. Darin wollen wir insbesondere auch zu den vielen Definitionen des Kapitels 2 weitere konkrete Beispiele geben und Berechnungen durchführen.

Die Wichtigkeit der Cartanfaktoren für die Klasse der JB^{∗}-Tripel rührt von den Ergebnissen der Strukturtheorie für JB^{∗}-Tripel her. Vereinfacht gesprochen bilden Cartanfaktoren die Bausteine für JB^{∗}-Tripel. Dies drückt sich exemplarisch in den folgenden Sätzen aus:

3.1 Satz [Satz (3.4) in [26]] Jedes JB^{∗}-Tripel U endlicher Dimension ist (bis auf Reihenfolge) eindeutig darstellbar als direkte Summe

U = U_{0} ⊕ U_{1} ⊕ … ⊕ U_{s},

wobei U_{0} ein triviales Ideal in U ist und U_{1}, … U_{s} die einfachen Ideale in U durchläuft. Die einfachen JB^{∗}-Tripel endlicher Dimension sind dabei genau die Cartanfaktoren endlicher Dimension.

3.2 Satz [Theorem (4.10) in [26] Teil I] Sei U ein JB^{∗}-Tripel endlichen Ranges, das ein vollständiges Orthonormalsystem von Tripotenten enthält. Dann läßt sich U (bis auf Reihenfolge) eindeutig darstellen als direkte Summe

U = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{s},

wobei U_{1}, … U_{s} die einfachen Ideale von U sind. Ferner verhalten sich die Ränge dieser Summe additiv, d.h.

r(U) = r(U_{1}) + … + r(U_{s}).

Die einfachen JB^{∗}-Tripel endlichen Ranges mit einem vollständigen Orthogonalsystem von Tripotenten sind (bis auf Isomorphie) genau die Cartanfaktoren endlichen Ranges.

3.3 Satz [(1.8) in [21]] Jeder JBW*-Tripelfaktor, der ein minimales Tripotent enthält, ist isomorph zu einem Cartanfaktor.

3.4 Satz [Theorem 1 in [11]] Jedes JB^{∗}-Tripel ist isometrisch isomorph zu einem Untertripel einer direkten ℓ^{∞}-Summe von Cartanfaktoren.

Diese Ergebnisse stellen natürlich nur einen kleinen Ausschnitt aus der Strukturtheorie für JB^{∗}-Tripel dar. Wesentlich detailliertere Aussagen und feinere Zerlegungen findet man z.B. in [21]. Darüberhinaus bietet [11] einen kurzen historischen Überblick. Des weiteren sei auf den Übersichtsartikel [35] verwiesen, wo eine Gesamtsicht der Strukturtheorie gegeben wird.

Wir wollen nun aber endlich die sechs Typen von Cartanfaktoren beschreiben. Dazu bezeichnen für den Rest des Kapitels H, K stets komplexe Hilberträume der (komplexen) Dimension n bzw. m für beliebige Kardinalzahlen n, m mit Orthonormalbasen {h_{β} : β ∈ B} und {k_{α} : α ∈ A}. Im Falle n = m dürfen wir H = K annehmen. Auf beiden Räumen fixieren wir eine Konjugation, die jeweils mit x ↦ x̄ bezeichnet wird. Weiter bezeichne wie im Kapitel 1 X: = {x ∈ H : x̄ = x} die reelle Form von H. Mit Hilfe des Skalarprodukts (· ·) auf H können wir eine symmetrische Bilinearform ⟨x y⟩: = (x ȳ) auf H definieren und die orthogonale Gruppe O(n) = Imt(X) mit der Untergruppe {g ∈ U(n) : ⟨x y⟩ = ⟨gx gy⟩ ∀x, y ∈ H} identifizieren. Ferner seien wie im Kapitel 1 zu jedem Operator z ∈ L(H, K) die Operatoren

\begin{aligned}z̄ & ∈ L(H, K) : z̄(x̄): = \overline{zx} und \\ z′ & ∈ L(K, H) : ⟨x z′(y)⟩: = ⟨z(x) y⟩ ∀x ∈ H, y ∈ K. \end{aligned}

definiert. Die Hilbertraum-Adjungierte schreibt sich dann als z^{∗} = z̄′ und z ↦ z̄ ist ein Konjugation von L(H, K).

Wir bezeichnen im folgenden die Cartanfaktoren I–VI stets mit U. Ein wenig Vorsicht ist angebracht, um nicht JB^{∗}-Tripel vom Typ I, II oder III (vgl.[21]) mit den Cartanfaktoren I–VI zu verwechseln. Doch da zur Angabe der Dimension bei Cartanfaktoren meist Indices stehen, ist die Gefahr nicht so groß.

Der Typ I_{n,m}: = L(H, K)

Der Banachraum U: = L(H, K) mit dem Tripelprodukt 2.6, der schon im letzten Kapitel als Beispiel erwähnt war, stellt den ersten Typ dar. Wegen z′w̄z′ = (zw^{∗}z)′ für alle z, w ∈ L(H, K) ist die Transposition z ↦ z′ ein Tripelisomorphismus von L(H, K) auf L(K, H). Wir können also stets n ≤ m annehmen und damit auch H ⊂ K. Sind nun n, m unendlich, so bildet die Menge aller kompakten Operatoren ein nichttriviales Ideal in U.

Als eine Verallgemeinerung von Beispiel 2.21 sehen wir: Ist e ∈ U ein Tripotent, so sind e^{∗}e, ee^{∗} Projektionen auf H, K und zerlegen die Räume in H = H_{1} ⊕ H_{2}: = e^{∗}e(H) ⊕ (11 − e^{∗}e)(H) und K = K_{1} ⊕ K_{2} analog. Bezüglich dieser Zerlegung lassen sich alle Elemente in U als Operatormatrix schreiben, und e hat die Form

e = ( \begin{matrix}u & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) mit u ∈ Imt(H_{1}, K_{1}).

Daher bezeichnet man Tripotente in U auch als partielle Isometrien. Die Pierce-Räume schreiben sich als

\begin{aligned}E_{1}(e) & = \{( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ U : x ∈ L(H_{1}, K_{1})\} \\ E_{1/2}(e) & = \{( \begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix} ) ∈ U : x ∈ L(H_{2}, K_{1}), y ∈ L(H_{1}, K_{2})\} \\ E_{0}(e) & = \{( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ) ∈ U : x ∈ L(H_{2}, K_{2})\} \\ E^{k}(e) & = \{( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ U : x = kx^{∗} ∈ L(H_{1}, K_{1})\} \end{aligned}

für k ∈ {±1}. Ein vollständiges Tripotent war ja gerade durch die Bedingung E_{0}(e) = 0 definiert. In endlicher Dimension ist offensichtlich jedes vollständige Tripotent maximal. Allgemein ist M(U) die Menge aller C-linearen (nicht notwendig surjektiven) Isometrien von H in K.

Minimale Tripotente lassen sich konkret angeben. Für α ∈ A, β ∈ B definieren wir e_{αβ} ∈ U durch

e_{αβ}(h): = (h h_{β})k_{α} für alle h ∈ H.

Der Pierce-1-Raum läßt sich identifizieren mit L(Ch_{β}, Ck_{α}) ≅ C, woraus die Minimalität folgt. Die Adjungierte berechnet sich zu e_{αβ}^{∗}(k) = (k k_{α})h_{β} für alle k ∈ K. Für α ≠ β sind e_{αα}, e_{ββ} orthogonal wegen e_{αα}^{∗}e_{ββ}(h) = (h h_{β})(k_{α} k_{β})h_{α} = 0. Ferner sind e_{αβ}, e_{γδ} genau dann kollinear, wenn α = γ und β ≠ δ oder α ≠ γ und β = δ gilt.

Für n ≤ m < ∞ ist U gerade der Raum aller rechteckigen Matrizen M(m × n, C). Die Tripotente e_{αβ} entsprechen den Elementarmatrizen E_{αβ}. Kollinearität bedeutet dann anschaulich, daß die Einträge zweier Elementarmatrizen in derselben Zeile oder Spalte liegen, d.h. ”in einer Linie”.

Die w^{∗}-konvergente Summe e = ∑_{β∈B} e_{ββ} ist ein Tripotent. Als Operator ist e gerade die Inklusion von H in K, insbesondere ist U_{0}(e) = 0, d.h. e ist vollständig. Es ist also {e_{ββ} : β ∈ B} ein vollständiges Orthogonalsystem von Tripotenten. Schließlich lassen sich auch die unitären Tripotente in U noch angeben und zwar analog zur Vorgehensweise in Satz 2.24. Ist e ∈ U(U), so muß e^{∗}e = 11_{H} und ee^{∗} = 11_{K} gelten, was notwendig n = m und e ∈ U(n) impliziert. Damit sehen wir, daß in diesem Fall ∅ ≠ M(U) = U(U) = Imt(H) zusammenhängend ist. Für n ≠ m jedoch ergibt sich U(U) = ∅, und M(U) sind alle C-linearen Isometrien von H in K.

Die Automorphismengruppe von U wurde in [25] bestimmt. Es gilt

Aut^{0}(U) = {z ↦ uzv : u ∈ U(m), v ∈ U(n)}.

Im Fall n = m > 1 ist die Transposition z ↦ z′ ein Automorphismus, der nicht in Aut^{0}(U) ist. So gibt es eine weitere Komponente von Aut(U), nämlich alle Abbildungen der Form z ↦ uz′v mit u, v ∈ U(n). Dies sind aber auch schon alle Komponenten, insbesondere ist Aut(U) zusammenhängend für n ≠ m. Vermöge der Abbildung

U(m) × U(n) ⟶ Aut(U) : (u, v) ⟼ (z ↦ uzv^{∗})

läßt sich Aut(U) mit der Liegruppe (U(m) × U(n))/ U(1) identifizieren. Die Einbettung von U(1) in das Produkt sei gegeben durch λ ↦ (λ11_{m}, λ̄11_{n}). Daß dies gerade der Kern der Abbildung ist, folgt leicht aus Lemma 1.2. Die Liealgebra der Automorphismengruppe läßt sich mit der Menge aller Abbildungen {z ↦ uz + zv : u ∈ 𝔲(m), v ∈ 𝔲(n)} identifizieren und ist isomorph zu (𝔲(m) × 𝔲(n))/IR.

Der Typ II_{n}: = {z ∈ L(H) : z = −z′} für n > 1

Für x, y ∈ II_{n} gilt (xy^{∗}x)′ = x′ȳx′ = −xy^{∗}x. Das Tripelprodukt auf I_{n,n} läßt sich daher auf die schiefsymmetrischen Operatoren beschränken. U ist also ein Untertripel von I_{n,n}. Da die Transposition z ↦ z′ auf L(H) nur von der gewählten Konjugation auf H abhängt und diese wiederum bis auf eine surjektive Isometrie von H eindeutig ist, genügt die Angabe der Dimension von H zur Bestimmung von U.

Im Satz 2.24 haben wir bereits die unitären Tripotente von U zu

U(U) = U ∩ U(n) = {z ∈ U(n) : z = −z′}

bestimmt. In endlicher Dimension sind dies also die unitären schiefsymmetrischen Matrizen. Aufgrund der Determinantengleichung

det z = det z′ = det (−z) = (−1)^{n}det z für z ∈ II_{n},

die nur für gerades n erfüllbar ist, ergibt sich, daß U(U) genau dann leer ist , wenn n endlich und ungerade ist.

Die für I_{n,n} definierten Tripotente e_{αβ} liegen nicht in U, aber wir erhalten mit ihnen Tripotente e_{αβ} −e_{βα} ∈ U für α ≠ β. Deren Pierce-1-Raum können wir identifizieren mit E_{1}(e_{αβ} − e_{βα}) ≅ {z ∈ M(2, C) : −z′ = z}, d.h. diese Tripotente sind minimal in U. (Sie sind aber nicht minimal in L(H), wo sie Rang 2 haben.) Wie schon für I_{n,n} zerlegt jedes Tripotent e ∈ U den Hilbertraum H und das Tripel U in eine direkte Summe bzw. in die Pierce-Räume. Es sind in deren Darstellung nur die offensichtlichen Änderungen durch die Beschränkung auf das Untertripel vorzunehmen.

Die Automorphismengruppe von U enthält alle Abbildungen der Form z ↦ uzu′, u ∈ U(n) als eine zusammenhängende Untergruppe G. Für alle n ≠ 4 ist dies bereits die gesamte Automorphismengruppe. Für n < 4 haben wir nämlich die Isomorphien II_{2} ≅ I_{1,1} und II_{3} ≅ I_{1,3} [33], und die Behauptung folgt aus den Aussagen über den Typ I oben. Für unendliches n wurde die Automorphismengruppe in [19] zu Aut(U) = G berechnet. Der Beweis dort funktioniert aber sogar für alle n > 4 [30]. Der Fall n = 4 ist etwas komplizierter und wird durch die gesamte Arbeit hindurch eine Sonderrolle spielen. Die schiefsymmetrischen 4 × 4-Matrizen sind nämlich als Tripel isomorph zu einem sechsdimensionalen sogenannten Spinfaktor [33], einem Cartanfaktor von Typ IV, den wir unten näher beschreiben werden. Dessen Automorphismengruppe hat zwei Zusammenhangskomponenten. Es gilt nun Aut(II_{4}) = G ∪ Gθ, wobei θ definiert ist als

(3.5)  θ ( \begin{matrix}a & b \\ −b′ & c \end{matrix} ): = ( \begin{matrix}a & −b′ \\ b & c \end{matrix} ) für alle a, b, c ∈ M(2, C)

mit a+a′ = 0 = c+c′. Der Nachweis, daß θ tatsächlich das Tripelprodukt respektiert, ist eine längere Rechnung. Wir wollen nur ein paar Zwischenschritte angeben und nutzen dabei aus, daß der Nachweis genügt, daß θ dritte Potenzen respektiert.

θ(( \begin{matrix}a & b \\ −b′ & c \end{matrix} )^{3}) = ( \begin{matrix}aa^{∗}a + bb̄a + ab^{∗}b′ − bc^{∗}b′ & −b′a^{∗}a + cb̄a − b′b^{∗}b′ − cc^{∗}b′ \\ aa^{∗}b + bb̄b − ab^{∗}c + bc^{∗}c & −b′a^{∗}b + cb̄b + b′b^{∗}c + cc^{∗}c \end{matrix} )

(θ ( \begin{matrix}a & b \\ −b′ & c \end{matrix} ))^{3} = ( \begin{matrix}aa^{∗}a + b′b^{∗}a + ab̄b − b′c^{∗}b & −aa^{∗}b′ + ab̄c − b′b^{∗}b′ − b′c^{∗}c \\ ba^{∗}a + bb̄b − cb^{∗}a + cc^{∗}b & −ba^{∗}b′ + cb^{∗}b′ + bb̄c + cc^{∗}c \end{matrix} )

Nun benutzen wir Identitäten, die nur für 2 × 2-Matrizen gelten. Sind a, c ∈ II_{2}, so gilt ac = ca = λ11 für λ ∈ C geeignet. Daraus ergibt sich a^{∗}ab^{∗}c = b^{∗}a^{∗}ac = b^{∗}a^{∗}ca = a^{∗}cb^{∗}a, und da a^{∗} ≠ 0 invertierbar ist, folgt

ab^{∗}c = cb^{∗}a für alle b ∈ M(2, C).

Eine Rechnung in Koordinaten liefert für schiefsymmetrisches a und beliebiges b ∈ M(2, C) noch

b′ab = bab′.

Schließlich ergibt die Rechnung für schiefsymmetrisches a und beliebige b, d ∈ M(s, C) auch die Identität

bd′a + adb′ = b′da + ad′b.

Setzen wir darin d = b^{∗}, so sehen wir daß θ tatsächlich mit x ↦ x^{3} kommutiert. Mit einem kleinen Vorgriff auf die Spinfaktoren wird auch klar, warum der Automorphismus θ nicht in der Einskomponente von Aut(II_{4}) liegen kann. Es ist {E_{ij} − E_{ji} : 1 ≤ i < j ≤ 4} eine Basis des Vektorraumes II_{4}. Auf dieser Basis wirkt θ, indem es zwei der Vektoren fest läßt, zwei in ihr Negatives überführt und die letzten zwei vertauscht. Daher hat θ negative Determinante. Außerdem läßt θ die minimalen orthogonalen Tripotente E_{12} − E_{21}, E_{34} − E_{43} fest und die Pierce-Räume der Summe invariant. Auf dem isomorphen Spinfaktor IV_{6} hat der θ entsprechende Automorphismus die Form λg. Dabei ist λ eine komplexe Zahl vom Betrag eins und g eine orthogonale Abbildung des Hilbertraumes C^{6}, und λg muß auf VI_{6} dieselben Eigenschaften haben wie θ auf II_{4}. Dann muß λ = 1 gelten, und g hat negative Determinante, liegt also nicht in Aut(IV_{6}) (vgl. späteren Abschnitt über IV_{n}).

Die Einskomponente Aut^{0}(U) besteht in allen Fällen aus allen Abbildungen der Form z ↦ uzu′, u ∈ U(n) und ist als Liegruppe isomorph zu U(n)/ O(1), wobei O(1) mit {±11} identifiziert wird. Die Isomorphie sieht man wieder mit Lemma 1.2. Die Ergebnisse aus Kapitel 2 lauten hier im konkreten Fall also wie folgt: Die Menge der schiefsymmetrischen unitären Operatoren ist zusammenhängend und ein U(n)/ O(1)- Orbit unter der Wirkung u ↦ dud′, u ∈ U(U), d ∈ U(n)/ O(1).

Der Typ III_{n}: = {z ∈ L(H) : z = z′}

Genau wie beim Typ II_{n} läßt sich das Tripelprodukt von L(H) auf die symmetrischen Operatoren beschränken. U ist also wieder ein Untertripel von L(H). Ferner genügt wieder die Angabe der Dimension von H zur Bestimmung von U. Auch die unitären Tripotente haben wir in Satz 2.24 schon zu

U(U) = U ∩ U(n) = {z ∈ U(n) : z = z′}

bestimmt. Die Tripotente e_{ββ} liegen in U für alle β ∈ B, sind daher auch minimal und je zwei verschiedene orthogonal in U. Außerdem sind für α ≠ β die Operatoren e_{αβ} + e_{βα} ∈ U Tripotente vom Rang 2. Es gilt

E_{1}(e_{αβ} + e_{βα}) ≅ II_{2}.

Die Automorphismengruppe von U ist zusammenhängend und läßt sich darstellen als

Aut(U) = {z ↦ uzu′ : u ∈ U(n)} ≅ U(n)/ O(1).

Für unendliche n wurde sie in [19] bestimmt, doch der Beweis dort funktioniert auch im endlichdimensionalen Fall [30]. Ebenso wie oben ist die Menge aller symmetrischen unitären Operatoren ein U(n)/ O(1)-Orbit unter u ↦ dud′.

Der Typ IV_{n} für n ≥ 2.

Die Cartanfaktoren vom Typ IV sind die sogenannten Spinfaktoren. Als Vektorraum ist U nichts anderes als der H zugrundeliegende Vektorraum. Das Tripelprodukt definieren wir mit Hilfe der Konjugation auf H als

{xyz}: = x y)z + (z y)x − ⟨x z⟩ȳ.

Schließlich machen wir U zu einem Banachraum mit der Norm

∥z∥^{2}: = (z z) + \sqrt{(z z)^{2} − |⟨z z⟩|^{2}}.

Diese Norm ist wohldefiniert. Da die Konjugation isometrisch ist, erhalten wir mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung |⟨z z⟩|^{2} ≤ (z z)(z̄ z̄) = (z z)^{2}, was bedeutet, daß die Wurzel stets reell ist. Ferner genügt der definierte Ausdruck den Ungleichungen

∥z∥_{2}^{2} ≤ ∥z∥^{2} ≤ 2∥z∥_{2}^{2},

wobei ∥·∥_{2} die Hilbertnorm auf H bezeichne. Wir erhalten also eine zu ∥·∥_{2} äquivalente Norm. Auf der rellen Form X von H stimmen beide Normen überein.

Wir wollen die Tripotente in U näher untersuchen. Die Bedingung e = {eee} schreibt sich hier als

e = 2(e e)e − (e ē)ē.

1.Fall Sind e, ē linear unabhängig, so muß (e ē) = 0 gelten. e, ē sind also orthogonal im Hilbertraum H und (e e) = 1/2. Sogar als Elemente des Tripels U sind e, ē orthogonal wie die Rechnung zeigt.

{eēz} = (e ē)z + (z ē)e − (e z̄)e = 0

für alle z ∈ U. Umgekehrt ist jeder Vektor f ∈ U mit ∥f∥_{2}^{2} = 1/2 und (f f̄) = 0 ein Tripotent. 2.Fall Sind e, ē linear abhängig, so läßt sich ē schreiben als ē = t^{2}e für ein t ∈ C. Da die Konjugation isometrisch ist, muß sogar |t| = 1 gelten. Dann ist te = \overline{te} ebenfalls ein Tripotent und zwar mit ∥te∥_{2} = ∥e∥_{2} = 1. Ist umgekehrt f = f̄ ∈ X und ∥f∥_{2} = ∥f∥ = 1, so ist tf ein Tripotent für alle |t| = 1. tf ist sogar ein unitäres Tripotent wegen

{tf tf z} = (tf tf)z + (z tf)tf − (tf z̄)t̄f = z ∀z ∈ U.

Jedes konjugationsinvariante Tripotent f läßt sich zerlegen in eine Summe von linear unabhängigen Tripotenten e, ē. Dazu wählen wir ein g ∈ X, ∥g∥ = 1 und linear unabhängig zu f und setzen e: = (f + ig)/2.

3.6 Satz Sei e ∈ U: = IV_{n} ein Tripotent. Dann gibt es für e genau zwei Möglichkeiten.

(i) e und ē sind linear unabhängig in U und sogar orthogonal. Die Hilbertnorm von e ist 1/2, e und ē sind minimale Tripotente und e + ē ist unitär.

(ii) e ist ein unitäres Tripotent, läßt sich schreiben als e = μf mit |μ| = 1, f = f̄, ∥f∥ = 1 und zerlegen in e = g + ḡ, wo g ein minimales Tripotent ist.

Es bezeichne S die Einssphäre in X. Dann gilt

U(U) ∩ X = S und U(U) = U(1) · S ≠ 0.

Die Pierce-Räume für unitäre Tripotente sind klar. Ist e ein minimales Tripotent, so gilt für alle z ∈ U

{eez} = 1/2z + (z e)e − (e z̄)ē = 1/2z + (z e)e − (z ē)ē.

Damit erhalten wir E_{1}(e) = Ce und E_{0}(e) = Cē, und E_{1/2}(e) ist der Orthogonalraum zum Aufspann von e, ē im Hilbertraum-Sinn.

Ist g ein Automorphismus von U, so ist g(e) ein unitäres Tripotent für jedes e ∈ S. Es gibt also ein |μ| = 1 für das g(e) = μ^{2}\overline{g(e)} gilt. Wegen e = ē können wir g schreiben als g = λg̃ mit |λ| = 1 und g̃ = \overline{g̃}. Die Abbildung g̃ läßt sich also auf X beschränken und läßt sogar die Einssphäre S ⊂ X invariant. Damit ist g̃ eine Isometrie auf X, d.h. eine orthogonale Abbildung. Umgekehrt ist leicht nachzurechnen, daß jede Abbildung der Form λg: U → U, λ ∈ U(1), g ∈ O(n) das Tripelprodukt respektiert. Wir erhalten

Aut(U) ≅ (U(1) × O(n))/ O(1).

Für unendliche n ist O(n) und damit auch Aut(U) zusammenhängend. Für n < ∞ hat O(n) stets zwei Zusammenhangskomponenten und so auch U(1) × O(n). Bei der Identifikation modulo O(1) geschieht nun folgendes: Ist n gerade, so liegen ±11_{U} beide in SO(n), da det(−11) = (−1)^{n}det(11) = 1 gilt. Es werden also nur Elemente innerhalb einer Komponente miteinander identifiziert, d.h. Aut(U) hat ebenfalls zwei Zusammenhangskomponenten. Ist n ungerade, so ist −11 SO(n) genau die zweite Komponente von O(n), und die Identifikation findet zwischen den Komponenten statt. Daher ist Aut(U) zusammenhängend.

Die Typen V und VI

Diese beiden Typen von Cartanfaktoren verhalten sich völlig anders als die sogenannten klassischen Cartanfaktoren der Typen I–IV. Sie heißen auch die exzeptionellen Cartanfaktoren. Die erste Besonderheit ist, daß sie von keinem Parameter abhängen und nur in einer jeweils ganz bestimmten Dimension auftreten. Es ist

V: = M(1 × 2, O^{C}) und
VI: = H(3, O^{C}): = {z ∈ M(3, O^{C}) : z^{∗} = z}.

Dabei bezeichne O^{C} die achtdimensionale nicht-assoziative Algebra der Cayleyzahlen über C. Der Faktor V läßt sich als Untertripel in VI einbetten. Beide Faktoren lassen sich aber nicht als Untertripel einer vermöge 2.6 als Tripel aufgefaßten assoziativen Algebra gewinnen. In V existieren keine unitären Tripotente, U(VI) ist nichtleer. Die beiden Faktoren haben die (komplexe) Dimension 16 und 27. Weitere Details finden sich in [33]. Sie werden in dieser Arbeit keine große Rolle spielen.

Die klassischen Cartanfaktoren besitzen noch eine weitere Darstellung, und zwar läßt sich I_{n,m} mit dem Banachraum L^{2}(H × K, C) aller stetigen Bilinearformen λ: H × K → C in der Supremumsnorm identifizieren. Für z ∈ I_{n,m} stellt λ(h, k): = ⟨z(h) k⟩ für alle h ∈ H, k ∈ K ein Element von L^{2}(H × K, C) dar. Bei gegebenem λ ∈ L^{2}(H × K, C) läßt sich die Gleichung umgekehrt auch als Definition für z ∈ I_{n,m} lesen. Die Cartanfaktoren II und III entsprechen dann den alternierenden und symmetrischen Bilinearformen. Jeder Spinfaktor U läßt sich außerdem als ein *-invariantes Untertripel in L(H) einbetten mit e: = 11_{H} ∈ U für einen geeigneten Hilbertraum H [16]. Schließlich zitieren wir noch die Klassifikation der Cartanfaktoren bis auf Tripelisomorphie.

3.7 Satz [p. 475 in [26]] Jeder Cartanfaktor taucht in der folgenden Liste genau einmal auf:

I_{n,m} für m ≥ n ≥ 1
II_{n}, IV_{n} für n ≥ 5

III_{n} für n ≥ 2
V, VI.

Zusammenfassung Cartanfaktoren sind die wichtigsten Bausteine für JBW*-Tripelsysteme. Sie tauchen in sechs Typen auf, den vier Klassen spezieller oder auch klassischer Cartanfaktoren und den beiden endlichdimensionalen Faktoren. Die Typen I–III lassen sich als bestimmte Mengen von Operatoren auf Hilberträumen beschreiben, dem Typ IV liegt ein Hilbertraum zugrunde. Es wurden minimale und unitäre Tripotente bestimmt sowie die mit ihnen verbundenen Zerlegungen berechnet. Diese werden bei der Bestimmung der Isometriengruppen reeller Cartanfaktoren in Kapitel 5 von großer Bedeutung sein. Außerdem wurden die Automorphismengruppen angegeben, die im nächsten Kapitel bei der Bestimmung der reellen Formen die Grundlage der Argumentation bilden.